Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques , et plus précisément en algèbre multilinéaire , le produit dyadique
P
=
u
⊗
v
{\displaystyle \mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }
de deux vecteurs ,
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
produit tensoriel de ces vecteurs, lequel est un tenseur d'ordre deux et de rang un.
Si
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
espace vectoriel E de dimension finie n , muni d'une base donnée
{
e
i
}
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}_{1\leq i\leq n}}
P
i
j
{\displaystyle P_{ij}}
P
=
u
⊗
v
{\displaystyle \mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }
produit tensoriel
E
⊗
E
{\displaystyle E\otimes E}
P
i
j
=
u
i
v
j
{\displaystyle \displaystyle P_{ij}=u_{i}v_{j}}
u
=
∑
i
=
1
n
u
i
e
i
{\displaystyle \ \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u_{i}\mathbf {e} _{i}}
v
=
∑
j
=
1
n
v
j
e
j
{\displaystyle \ \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}v_{j}\mathbf {e} _{j}}
et alors
P
=
∑
i
,
j
P
i
j
e
i
⊗
e
j
{\displaystyle \mathbb {P} =\sum _{i,j}P_{ij}\;\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}
Le produit dyadique peut être simplement représenté par la matrice carrée obtenue en multipliant
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
vecteur colonne par
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
vecteur ligne . Par exemple,
u
⊗
v
→
[
u
1
u
2
u
3
]
[
v
1
v
2
v
3
]
=
[
u
1
v
1
u
1
v
2
u
1
v
3
u
2
v
1
u
2
v
2
u
2
v
3
u
3
v
1
u
3
v
2
u
3
v
3
]
,
{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \rightarrow {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}},}
où la flèche indique que ce n'est qu'une représentation particulière du produit dyadique, se référant à une base particulière. Dans cette représentation, le produit dyadique est un cas particulier du produit de Kronecker .
Les identités suivantes sont une conséquence directe de la définition du produit dyadique [ 1]
(
α
u
)
⊗
v
=
u
⊗
(
α
v
)
=
α
(
u
⊗
v
)
,
u
⊗
(
v
+
w
)
=
u
⊗
v
+
u
⊗
w
,
(
u
+
v
)
⊗
w
=
u
⊗
w
+
v
⊗
w
,
(
u
⊗
v
)
⋅
w
=
u
(
v
⋅
w
)
,
u
⋅
(
v
⊗
w
)
=
(
u
⋅
v
)
w
,
(
u
⊗
v
)
⊤
=
v
⊗
u
{\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha \mathbf {u} )\otimes \mathbf {v} &=\mathbf {u} \otimes (\alpha \mathbf {v} )=\alpha (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ),\\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} ,\\(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} &=\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} ,\\(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} &=\mathbf {u} \;(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ),\\\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\;\mathbf {w} ,\\(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\top }&=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \end{aligned}}}
↑ Voir Spencer (1992), page 19.
