Produit dyadique

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre multilinéaire, le produit dyadique

\mathbb{P} = \mathbf{u}\otimes\mathbf{v}

de deux vecteurs, \mathbf{u} et \mathbf{v}, chacun ayant la même dimension, est le produit tensoriel de ces vecteurs, lequel est un tenseur d'ordre deux et de rang un.

Composantes[modifier | modifier le code]

Si \mathbf{u} et \mathbf{v} sont deux vecteurs d'un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d'une base donnée \{\mathbf{e}_i\}_{1\le i\le n}, les coordonnées P_{ij} du produit dyadique \mathbb{P} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} dans la base correspondante du produit tensoriel E\otimes E sont données par

\displaystyle P_{ij} = u_i v_j , où \ \mathbf{u} = \sum_{i=1}^n u_i \mathbf{e}_i , et \ \mathbf{v} = \sum_{j=1}^n v_j \mathbf{e}_j ,

et alors

\mathbb{P} = \sum_{i,j} P_{ij}\; \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j .

Représentation matricielle[modifier | modifier le code]

Le produit dyadique peut être simplement représenté par la matrice carrée obtenue en multipliant \mathbf{u} en tant que vecteur colonne par \mathbf{v} en tant que vecteur ligne. Par exemple,


 \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}
 \rightarrow
 \begin{bmatrix}
 u_1 \\
 u_2 \\
 u_3 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
 u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\
 u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\
 u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3
 \end{bmatrix} ,

où la flèche indique que ce n'est qu'une représentation particulière du produit dyadique, se référant à une base particulière. Dans cette représentation, le produit dyadique est un cas particulier du produit de Kronecker.

Identités[modifier | modifier le code]

Les identités suivantes sont une conséquence directe de la définition du produit dyadique [1]:


\begin{align}
  (\alpha \mathbf{u}) \otimes \mathbf{v} &= \mathbf{u} \otimes (\alpha \mathbf{v}) = \alpha (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}), \\
  \mathbf{u} \otimes (\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{w}, \\
  (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \otimes \mathbf{w} &= \mathbf{u} \otimes \mathbf{w} + \mathbf{v} \otimes \mathbf{w}, \\
  (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} &= \mathbf{u}\; (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}), \\ 
  \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \otimes \mathbf{w}) &= (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})\; \mathbf{w}. 
\end{align}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Voir Spencer (1992), page 19.

Références[modifier | modifier le code]