Identités vectorielles

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Les identités suivantes peuvent être utiles en analyse vectorielle.

Identités vectorielles générales[modifier | modifier le code]

Dans cette section, a, b, c et d représentent des vecteurs quelconques de  \mathbb R^n .

Conventions d'écriture[modifier | modifier le code]

Dans cet article, les conventions suivantes sont utilisées; à noter que la position (levée ou abaissée) des indices n'a pas, ici, beaucoup d'importance étant donné que l'on travaille dans un contexte euclidien. Cela permet néanmoins de retrouver plus directement les couplages (un indice supérieur s'associant avec un indice inférieur).

Produit scalaire[modifier | modifier le code]

Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est noté

 \mathbf a \cdot \mathbf b

En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :

 \mathbf a \cdot \mathbf b = a_ib^i = a^ib_i

Produit vectoriel[modifier | modifier le code]

Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b est noté

 \mathbf a \times \mathbf b

En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :

 (\mathbf a \times \mathbf b)_i = {\epsilon_i}^{jk}a_jb_k

Symbole de Levi-Civita[modifier | modifier le code]

Article principal : Symbole de Levi-Civita.

Une identité revenant souvent dans les démonstrations utilisant la convention de sommation d'Einstein est la suivante :

 {\epsilon_{ij}}^k{\epsilon_k}^{lm} = \delta_i^l\delta_j^m - \delta_i^m\delta_j^l

Avec  \delta le symbole de Kronecker.

Triples produits[modifier | modifier le code]

On a le résultat suivant sur le produit mixte :

  •  \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c) = \mathbf b\cdot(\mathbf c \times \mathbf a) = \mathbf c\cdot(\mathbf a\times \mathbf b)

 \mathbf a\times (\mathbf b\times \mathbf c) = (\mathbf c \times \mathbf b) \times \mathbf a = \mathbf b (\mathbf a \cdot \mathbf c) - \mathbf c(\mathbf a\cdot \mathbf b)

La première égalité découle des propriétés du produit vectoriel :  (\mathbf a \times \mathbf b) = - (\mathbf b\times \mathbf a) . La seconde est démontrée ci-dessous.

Autres produits[modifier | modifier le code]

L'identité de Binet-Cauchy :

 (\mathbf a \times \mathbf b)\cdot(\mathbf c \times \mathbf d) = (\mathbf a \cdot \mathbf c)(\mathbf b \cdot \mathbf d) - (\mathbf a\cdot \mathbf d)(\mathbf b\cdot \mathbf c)

à noter que l'on retrouve l'identité de Lagrange si a=c et si b=d.

Opérateurs[modifier | modifier le code]

Cette section fournit une liste explicite de la signification des symboles utilisés pour plus de clarté.

Divergence[modifier | modifier le code]

Article principal : Divergence.

Divergence d'un champ vectoriel[modifier | modifier le code]

Pour un champ vectoriel  \mathbf V , on écrit généralement la divergence comme suit :

 \operatorname{\mathbf{div}}(\mathbf V) = \nabla \cdot \mathbf V

C'est un champ scalaire.

En convention de sommation d'Einstein la divergence d'un champ vectoriel s'écrit :

 \nabla\cdot\mathbf V = \partial_iV^i

Divergence d'un tenseur[modifier | modifier le code]

Pour un tenseur  \stackrel{\mathbf{\mathfrak{T}}}{} , on écrit généralement la divergence comme suit :

\operatorname{\mathbf{div}}(\mathbf{\mathfrak{T}}) = \nabla \cdot \mathbf{\mathfrak{T}}

C'est un vecteur

Rotationnel[modifier | modifier le code]

Article principal : Rotationnel.

Pour un champ vectoriel  \mathbf V , on écrit généralement le rotationnel comme suit :

 \operatorname{\mathbf{rot}}(\mathbf V) = \nabla \times \mathbf V

C'est un champ vectoriel.

En convention de sommation d'Einstein le rotationnel d'un champ vectoriel s'écrit :

 (\nabla \times \mathbf V)_i = {\epsilon_i}^{jk}\partial_jV_k

Gradient[modifier | modifier le code]

Article principal : Gradient.

Gradient d'un champ vectoriel[modifier | modifier le code]

Pour un champ vectoriel  \mathbf V , on écrit généralement le gradient comme suit :

 \operatorname{\mathbf{grad}}(\mathbf V)=\nabla \mathbf V

C'est un tenseur.

Gradient d'un champ scalaire[modifier | modifier le code]

Pour un champ scalaire  \psi , on écrit généralement le gradient comme suit :

 \operatorname{\mathbf{grad}}(\psi) = \nabla \psi

C'est un vecteur.

En convention de sommation d'Einstein le gradient d'un champ scalaire s'écrit :

 (\nabla\psi)_i = \partial_i\psi

Combinaisons d'opérateurs[modifier | modifier le code]

Rotationnel du gradient[modifier | modifier le code]

Le rotationnel du gradient de n'importe quel champ scalaire  \psi est toujours nul :

 \nabla \times (\nabla \psi) = \mathbf 0

Divergence du rotationnel[modifier | modifier le code]

La divergence du rotationnel de n'importe quel champ vectoriel \mathbf V est toujours nulle :

 \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf V) = 0

Laplacien[modifier | modifier le code]

Laplacien d'un champ scalaire[modifier | modifier le code]

Le Laplacien d'un champ scalaire  \psi est défini comme la divergence du gradient :

 \nabla \cdot (\nabla\psi) = \nabla^2\psi

C'est un champ scalaire.

En convention de sommation d'Einstein, le Laplacien d'un champ scalaire se note comme suit :

 \nabla^2\psi = \partial_i\partial^i\psi

Laplacien d'un champ vectoriel[modifier | modifier le code]

Le Laplacien vectoriel d'un champ vectoriel est le vecteur dont les composantes sont les laplacien des composantes.

En convention de sommation d'Einstein cela se note :

 (\nabla^2 \mathbf V)_i = \nabla^2 (V_i) = \partial_j\partial^j(V_i)

Rotationnel du rotationnel[modifier | modifier le code]

Article principal : Rotationnel du rotationnel.

Le rotationnel du rotationnel d'un champ vectoriel \mathbf V est donné par :

 \nabla\times(\nabla\times\mathbf V) = \nabla(\nabla\cdot \mathbf V)-\nabla^2\mathbf V

Produit vectoriel du champ par son rotationnel[modifier | modifier le code]

Le produit vectoriel du champ \mathbf V par son rotationnel est donné par :

 \mathbf V \times (\nabla \times \mathbf V)=\nabla \left( \frac{\mathbf V^2}{2} \right) - (\mathbf V\cdot \mathbf \nabla)\mathbf V

Autres identités impliquant des opérateurs[modifier | modifier le code]

Dans cette section, \psi et  \phi représentent des champs scalaires, \mathbf V, \mathbf A et  \mathbf B représentent des champs vectoriels.

  •  \nabla(\psi\phi) = (\nabla\psi)\phi + (\nabla\phi)\psi

Cette relation découle immédiatement de la règle du produit.

  •  \nabla \cdot (\psi\mathbf V) = (\nabla\psi)\cdot \mathbf V + (\nabla \cdot \mathbf V)\psi
  •  \nabla \times (\psi\mathbf V) = (\nabla\psi)\times \mathbf V + (\nabla\times\mathbf V)\psi

Gradient d'un produit scalaire[modifier | modifier le code]

  •  \nabla(\mathbf A\cdot \mathbf B) = (\mathbf A \cdot \nabla)\mathbf B+(\mathbf B\cdot \nabla)\mathbf A + \mathbf A\times(\nabla\times \mathbf B) + \mathbf B\times(\nabla \times \mathbf A)

Divergence d'un produit vectoriel[modifier | modifier le code]

  •  \nabla\cdot(\mathbf A \times \mathbf B) = (\nabla\times\mathbf A)\cdot \mathbf B - \mathbf A \cdot (\nabla\times\mathbf B)

Rotationnel d'un produit vectoriel[modifier | modifier le code]

  •  \nabla \times (\mathbf A\times \mathbf B) = (\nabla\cdot \mathbf B)\mathbf A - (\nabla\cdot \mathbf A)\mathbf B + (\mathbf B\cdot \nabla)\mathbf A - (\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf B