Nabla

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Nabla, noté \nabla ou \vec\nabla selon les conventions utilisées, est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux notions sont reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En physique, il est utilisé de manière informelle en dimension 3 pour représenter aisément la divergence (·A), le rotationnel (A) et le laplacien vectorielA = ∇2A) d'un champ vectoriel A, ainsi que le gradient (∇f) et le laplacienf = ∇2f) d'un champ scalaire f. Ces notions sont fondamentales en physique, notamment en électromagnétisme et en hydrodynamique.

Origine historique[modifier | modifier le code]

La forme de nabla vient de la lettre grecque delta majuscule (Δ) renversée, à cause d'une utilisation comparable, la lettre grecque à l'endroit étant déjà utilisée pour désigner un opérateur (le laplacien) en calcul différentiel. La définition, mais sans intitulé du nabla a été introduite par William Rowan Hamilton en 1847[1], et Peter Guthrie Tait en a développé la théorie à partir de 1867. Temporairement surnommé avec malice « atled » (delta à l'envers) par James Maxwell dans ses correspondances, le nom nabla lui fut donné par Tait sur l'avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe grecque qui dans l'antiquité portait ce nom[2].

Formulaire d'analyse vectorielle[modifier | modifier le code]

Ceci est une liste de quelques formules d'analyse vectorielle d'emploi général en travaillant avec plusieurs systèmes de coordonnées communs.

Opération Coordonnées cartésiennes (x,y,z) Coordonnées cylindriques (r,θ,z) Coordonnées sphériques (r,θ,φ)
Définition
des
coordonnées
\begin{cases}
x =  r\cos\theta  \\
y =  r\sin\theta \\
z =  z \end{cases} \begin{cases}
x =  r\sin\theta\cos\varphi \\
y =  r\sin\theta\sin\varphi \\
z =  r\cos\theta \end{cases}
\boldsymbol A A_x \boldsymbol u_x + A_y \boldsymbol u_y + A_z \boldsymbol u_z A_r \boldsymbol u_r + A_\theta \boldsymbol u_\theta + A_z \boldsymbol u_z A_r \boldsymbol u_r + A_\theta \boldsymbol u_\theta + A_\varphi \boldsymbol u_\varphi
 \nabla \boldsymbol u_x {\partial \over \partial x} + \boldsymbol u_y {\partial \over \partial y}
+ \boldsymbol u_z {\partial \over \partial z} \boldsymbol u_r {\partial \over \partial r}
+ {1 \over r} \boldsymbol u_\theta  {\partial \over \partial \theta }
+ \boldsymbol u_z {\partial \over \partial z} \boldsymbol u_r {\partial \over \partial r}
+ {1 \over r} \boldsymbol u_\theta {\partial \over \partial \theta}
+ {1 \over r\sin\theta} \boldsymbol u_\varphi {\partial \over \partial \varphi}
 \nabla f  \equiv \boldsymbol{\mathrm{grad}} f {\partial f \over \partial x}\boldsymbol u_x + {\partial f \over \partial y}\boldsymbol u_y
+ {\partial f \over \partial z}\boldsymbol u_z {\partial f \over \partial r}\boldsymbol u_r
+ {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol u_\theta 
+ {\partial f \over \partial z}\boldsymbol u_z {\partial f \over \partial r}\boldsymbol u_r
+ {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol u_\theta
+ {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol u_\varphi
 \nabla\cdot\boldsymbol A \equiv \mathrm{div} \boldsymbol A {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} {1 \over r}{\partial r A_r \over \partial r}
+ {1 \over r}{\partial A_\theta \over \partial \theta } 
+ {\partial A_z \over \partial z} {1 \over r^2}{\partial (r^2 A_r) \over \partial r}
+ {1 \over r\sin\theta}{\partial (A_\theta\sin\theta) \over \partial \theta} 
+ {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}
  \nabla \wedge \boldsymbol A \equiv \boldsymbol{\mathrm{rot}} {\boldsymbol A} \left({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}\right) \boldsymbol u_x

+ \left({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}\right) \boldsymbol u_y
+ \left({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}\right) \boldsymbol u_z

\left({1 \over r}{\partial A_z \over \partial \theta}
- {\partial A_\theta \over \partial z}\right) \boldsymbol u_r

+ \left({\partial A_r \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial r}\right) \boldsymbol u_\theta + {1 \over r}\left({\partial (r A_\theta) \over \partial r}
- {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol u_z

{1 \over r\sin\theta}\left({\partial (A_\varphi\sin\theta) \over \partial \theta}
- {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol u_r

 + \left({1 \over r\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}
- {1 \over r}{\partial (r A_\varphi) \over \partial r}\right) \boldsymbol u_\theta
 + {1 \over r}\left({\partial (r A_\theta) \over \partial r}
- {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol u_\varphi

\Delta f = \nabla^2 f {\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2} {1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r {\partial f \over \partial r}\right)
+ {1 \over r^2}{\partial^2 f \over \partial \theta^2} 
+ {\partial^2 f \over \partial z^2} {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right)
+ {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
+ {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
\Delta \boldsymbol A = \nabla^2 \boldsymbol A \Delta A_x \; \boldsymbol u_x

+ \Delta A_y \; \boldsymbol u_y
+ \Delta A_z \; \boldsymbol u_z

\left(\Delta A_r - {A_r \over r^2}
- {2 \over r^2}{\partial A_\theta  \over \partial \theta }\right) \boldsymbol u_r

 + 
\left(\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2}
+ {2 \over r^2}{\partial A_r \over \partial \theta}\right)\boldsymbol u_\theta  +  \Delta A_z \; \boldsymbol u_z

\left(\Delta A_r - \frac{2 A_r}{r^2} - \frac{2 A_\theta\cos\theta}{r^2\sin\theta} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol u_r

+\left(\Delta A_\theta - \frac{A_\theta}{r^2\sin^2\theta} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol u_\theta +\left(\Delta A_\varphi - \frac{A_\varphi}{r^2\sin^2\theta} + \dfrac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi} + \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol u_\varphi

Quelques autres règles de calcul
\operatorname{div}\ \boldsymbol{\operatorname{grad}} f = \nabla \cdot  (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f (laplacien)
\boldsymbol{\operatorname{rot}}\ \boldsymbol{\operatorname{grad}} f = \nabla \wedge ( \nabla f) = \boldsymbol 0
\operatorname{div}\ \boldsymbol{\operatorname{rot}} \; \boldsymbol A = \nabla \cdot ( \nabla \wedge \boldsymbol A) = 0
\boldsymbol{\operatorname{rot}}\ \boldsymbol{\operatorname{rot}} \; \boldsymbol A = \nabla \wedge (\nabla \wedge \boldsymbol A) 
=\nabla ( \nabla \cdot \boldsymbol A) - \nabla^2 \boldsymbol A = \boldsymbol{\operatorname{grad}}\ \operatorname{div} \boldsymbol A - \Delta \boldsymbol A (rotationnel du rotationnel)
\Delta f g = f \Delta g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \Delta f

Formule de Lagrange pour le produit vectoriel

\boldsymbol A \wedge (\boldsymbol B \wedge \boldsymbol C)
= \boldsymbol B (\boldsymbol A \cdot \boldsymbol C) - \boldsymbol C (\boldsymbol A \cdot \boldsymbol B) si et seulement si A, B et C commutent entre eux.
Table avec les \nabla (nabla ou del) dans les coordonnées cylindriques ou sphériques

L'utilisation des expressions de \nabla dans des systèmes de coordonnées autres que cartésiennes nécessite de rester vigilant quant à l'application des dérivées partielles aux éléments \boldsymbol u_\varphi, \boldsymbol u_r et \boldsymbol u_\theta. Ces derniers étant des champs de vecteurs non constants, ils font apparaître des termes spécifiques lorsque soumis à la dérivation (contrairement à \boldsymbol u_x, \boldsymbol u_y et \boldsymbol u_z qui ont des dérivées nulles).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Ivor Grattan-Guinness, Landmark writings in Western mathematics 1640-1940, Elsevier,‎ 2005, 1022 p. (ISBN 0444508716), p. 466
  2. (en) Life and Scientific Work of Peter Guthrie Tait, Cambridge University Press, 383 p., p. 143-145