Nabla

Nabla, noté $\nabla$, est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux notions sont évidemment reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En physique, il est utilisé de manière informelle en dimension 3 pour représenter aisément la divergence (∇·A), le rotationnel (∇∧A) et le laplacien vectoriel (ΔA = ∇²A) d'un champ vectoriel A, ainsi que le gradient (∇f) et le laplacien (Δf = ∇²f) d'un champ scalaire f. Ces notions sont fondamentales en physique, notamment en électromagnétisme et en hydrodynamique.

Origine historique

La forme de nabla vient de la lettre grecque delta majuscule (Δ) renversée, à cause d'une utilisation comparable, la lettre grecque à l'endroit étant déjà utilisée pour désigner un opérateur (le laplacien) en calcul différentiel. La définition, mais sans intitulé du nabla a été introduite par William Rowan Hamilton en 1847, et Peter Guthrie Tait en a développé la théorie à partir de 1867. Temporairement surnommé avec malice « atled » (delta à l'envers) par James Maxwell dans leur correspondance, le nom nabla lui fut donné par Tait sur l'avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe grecque qui dans l'antiquité portait ce nom.

Formulaire d'analyse vectorielle

Ceci est une liste de quelques formules d'analyse vectorielle d'emploi général en travaillant avec plusieurs systèmes de coordonnées communs.

Table avec les $\nabla$ (nabla ou del) dans les coordonnées cylindriques ou sphériques

Opération	Coordonnées cartésiennes (x,y,z)	Coordonnées cylindriques (r,θ,z)	Coordonnées sphériques (r,θ,φ)
Définition des coordonnées		$\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \\ z = z \end{cases}$	$\begin{cases} x = r\sin\theta\cos\varphi \\ y = r\sin\theta\sin\varphi \\ z = r\cos\theta \end{cases}$
$\boldsymbol A$	$A_x \boldsymbol u_x + A_y \boldsymbol u_y + A_z \boldsymbol u_z$	$A_r \boldsymbol u_r + A_\theta \boldsymbol u_\theta + A_z \boldsymbol u_z$	$A_r \boldsymbol u_r + A_\theta \boldsymbol u_\theta + A_\varphi \boldsymbol u_\varphi$
$\nabla$	$\boldsymbol u_x {\partial \over \partial x} + \boldsymbol u_y {\partial \over \partial y} + \boldsymbol u_z {\partial \over \partial z}$	$\boldsymbol u_r {\partial \over \partial r} + {1 \over r} \boldsymbol u_\theta {\partial \over \partial \theta } + \boldsymbol u_z {\partial \over \partial z}$	$\boldsymbol u_r {\partial \over \partial r} + {1 \over r} \boldsymbol u_\theta {\partial \over \partial \theta} + {1 \over r\sin\theta} \boldsymbol u_\varphi {\partial \over \partial \varphi}$
$\nabla f \equiv \overrightarrow{\mathrm{grad}} f$	${\partial f \over \partial x}\boldsymbol u_x + {\partial f \over \partial y}\boldsymbol u_y + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol u_z$	${\partial f \over \partial r}\boldsymbol u_r + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol u_\theta + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol u_z$	${\partial f \over \partial r}\boldsymbol u_r + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol u_\theta + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol u_\varphi$
$\nabla\cdot\boldsymbol A \equiv \mathrm{div} \boldsymbol A$	${\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z}$	${1 \over r}{\partial r A_r \over \partial r} + {1 \over r}{\partial A_\theta \over \partial \theta } + {\partial A_z \over \partial z}$	${1 \over r^2}{\partial (r^2 A_r) \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial (A_\theta\sin\theta) \over \partial \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}$
$\nabla \wedge \boldsymbol A \equiv \overrightarrow{\mathrm{rot}} {\boldsymbol A}$	$\left({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}\right) \boldsymbol u_x$ $+ \left({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}\right) \boldsymbol u_y$ $+ \left({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}\right) \boldsymbol u_z$	$\left({1 \over r}{\partial A_z \over \partial \theta} - {\partial A_\theta \over \partial z}\right) \boldsymbol u_r$ $+ \left({\partial A_r \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial r}\right) \boldsymbol u_\theta$ $+ {1 \over r}\left({\partial (r A_\theta) \over \partial r} - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol u_z$	${1 \over r\sin\theta}\left({\partial (A_\varphi\sin\theta) \over \partial \theta} - {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol u_r$ $+ \left({1 \over r\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi} - {1 \over r}{\partial (r A_\varphi) \over \partial r}\right) \boldsymbol u_\theta$ $+ {1 \over r}\left({\partial (r A_\theta) \over \partial r} - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol u_\varphi$
$\Delta f = \nabla^2 f$	${\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}$	${1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2}{\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}$	${1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}$
$\Delta \boldsymbol A = \nabla^2 \boldsymbol A$	$\Delta A_x \; \boldsymbol u_x$ $+ \Delta A_y \; \boldsymbol u_y$ $+ \Delta A_z \; \boldsymbol u_z$	$\left(\Delta A_r - {A_r \over r^2} - {2 \over r^2}{\partial A_\theta \over \partial \theta }\right) \boldsymbol u_r$ $+ \left(\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2} + {2 \over r^2}{\partial A_\rho \over \partial \theta}\right)\boldsymbol u_\theta$ $+ \Delta A_z \; \boldsymbol u_z$	$\left(\Delta A_r - \frac{2 A_r}{r^2} - \frac{2 A_\theta\cos\theta}{r^2\sin\theta} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol u_r$ $+\left(\Delta A_\theta - \frac{A_\theta}{r^2\sin^2\theta} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol u_\theta$ $+\left(\Delta A_\varphi - \frac{A_\varphi}{r^2\sin^2\theta} + \dfrac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi} + \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol u_\varphi$
Quelques autres règles de calcul $\operatorname{div}\ \overrightarrow{\operatorname{grad}} f = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f$ (laplacien) $\overrightarrow{\operatorname{rot}}\ \overrightarrow{\operatorname{grad}} f = \nabla \wedge ( \nabla f) = \boldsymbol 0$ $\operatorname{div}\ \overrightarrow{\operatorname{rot}} \; \boldsymbol A = \nabla \cdot ( \nabla \wedge \boldsymbol A) = 0$ $\overrightarrow{\operatorname{rot}}\ \overrightarrow{\operatorname{rot}} \; \boldsymbol A = \nabla \wedge (\nabla \wedge \boldsymbol A) =\nabla ( \nabla \cdot \boldsymbol A) - \nabla^2 \boldsymbol A = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\ \operatorname{div} \boldsymbol A - \Delta \boldsymbol A$ (rotationnel du rotationnel) $\Delta f g = f \Delta g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \Delta f$ Formule de Lagrange pour le produit vectoriel $\boldsymbol A \wedge (\boldsymbol B \wedge \boldsymbol C) = \boldsymbol B (\boldsymbol A \cdot \boldsymbol C) - \boldsymbol C (\boldsymbol A \cdot \boldsymbol B)$ si et seulement si A, B et C commutent entre eux.

L'utilisation des expressions de $\nabla$ dans des systèmes de coordonnées autres que cartésiennes nécessite de rester vigilant quant à l'application des dérivées partielles aux éléments $\boldsymbol u_\varphi$, $\boldsymbol u_r$ et $\boldsymbol u_\theta$. Ces derniers étant des champs de vecteurs non constants, ils font apparaître des termes spécifiques lorsque soumis à la dérivation (contrairement à $\boldsymbol u_x$, $\boldsymbol u_y$ et $\boldsymbol u_z$ qui ont des dérivées nulles).

Voir aussi

Articles connexes

• Système de coordonnées curvilignes
• Coordonnées polaires
• Pseudovecteur
• Dérivée covariante

Liens externes

• (en) Du nom de Nabla
• (en) Genèse du nom : toute une histoire