Théorème de Vaschy-Buckingham

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En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham[1],[2], ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle. Ce théorème établit que si une équation physique met en jeu n variables physiques, celles-ci dépendant de k unités fondamentales, alors il existe une équation équivalente mettant en jeu n - k variables sans dimension construites à partir des variables originelles.

Énoncé de Vaschy[1][modifier | modifier le code]

Soit a_1, a_2, a_3,…a_n des quantités physiques, dont les p premières sont rapportées à des unités fondamentales distinctes et les (n-p) dernières à des unités dérivées des p unités fondamentales (par exemple a_1 peut être une longueur, a_2 une masse, a_3 un temps, et les (n-3) autres quantités a_4, a_5,…a_n seraient des forces, des vitesses, etc.; alors p=3). Si entre ces n quantités il existe une relation :


F(a_1,a_2,\ldots a_n)=0,

qui subsiste quelles que soient les grandeurs arbitraires des unités fondamentales, cette relation peut se ramener à une autre en (n-p) paramètres au plus, soit:


f(x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0,

les paramètres x_1, x_2,…x_{n-p} étant des fonctions monômes de a_1, a_2,…a_n (par exemple x_1=Aa_1^{\alpha1}a_2^{\alpha2}\ldots a_n^{\alpha n}).

Démonstration de Vaschy[1][modifier | modifier le code]

Pour démontrer le théorème précédemment énoncé, remarquons que les quantités a_{p+1}, a_{p+2},…a_n étant rapportées à des unités dérivées, cela revient à dire que l'on peut trouver des exposants \alpha, \beta,… \alpha', \beta'… tels que les valeurs numériques des rapports


\frac{a_{p+1}}{a_1^\alpha a_2^\beta \ldots a_p^{\lambda}}=x_1,\ \ \frac{a_{p+2}}{a_1^{\alpha'}a_2^{\beta'}\ldots a_p^{\lambda'}}=x_2,\ldots,

soient indépendantes des valeurs arbitraires des unités fondamentales. (Ainsi  a_1, a_2, a_3, a_4 désignant respectivement une longueur, une masse, un temps et une force, le rapport \frac{a_4}{a_1a_2a_3^{-2}} auraient une valeur indépendante du choix des unités). Or, la relation:


F(a_1,a_2,\ldots a_p,a_{p+1},a_{p+2},\ldots)=0,

peut s'écrire:


F(a_1,a_2,\ldots a_p,x_1a_1^\alpha a_2^\beta \ldots a_p^{\lambda},x_2a_1^{\alpha'}a_2^{\beta'}\ldots a_p^{\lambda'},\ldots)=0.

Mais, en faisant varier les grandeurs des unités fondamentales, on pourra faire varier arbitrairement les valeurs numériques des quantités  a_1, a_2,… a_p dont les grandeurs intrinsèques sont supposées fixes, tandis que les valeurs numériques de  x_1, x_2,… x_{n-p} ne changeront point. La relation précédente devant subsister quelles que soient les valeurs arbitraires de  a_1, a_2,… a_p, doit être indépendantes de ces paramètres; cette relation prend ainsi la forme la plus simple:


f(x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0.

Généralisation[3].[modifier | modifier le code]

Dans l'énoncé de Vaschy, les p premières grandeurs doivent être rapportées à des unités fondamentales distinctes. La généralisation consiste simplement à considérer que les p premières grandeurs sont dimensionnellement indépendantes, i.e. les dimensions de ces quantités ne peuvent être écrites comme une fonction monôme des dimensions des autres quantités. Par exemple prenons 4 grandeurs physiques, une densité volumique \rho, une aire A, une vitesse V et une accélération a. Les variables \rho, A et V sont dimensionnellement indépendante par contre les variables A, V et a ne le sont pas car [a]=[V]^2[A]^{-1/2}

Origine du nom "Théorème \Pi"[modifier | modifier le code]

Ce théorème est aussi nommé "Théorème \Pi" car il est d'usage en physique d'utiliser la lettre \Pi pour les variables physiques adimensionnelles qui ne sont pas baptisées comme le sont les nombres de Reynolds, Prandtl ou de Nusselt. C'est ainsi qu'elles sont nommées dans l'article de Buckingham[2].

Exemple d'application[modifier | modifier le code]

Démonstration de la 3e loi de Kepler[modifier | modifier le code]

Soit un objet de masse m_p (une planète), en orbite elliptique de demi grand axe a et de période T autour d'un objet de masse m_s (Soleil), masse beaucoup plus élevée que la masse du premier objet de telle sorte que l'on puisse considérer que ce dernier est fixe dans l'espace. Nous cherchons à obtenir une relation liant la période de rotation à la longueur du demi grand axe.


D'après la loi de la gravitation universelle, en notant \mathbf{r}, le vecteur ayant pour origine le soleil et extrémité la planète, on a la relation :

\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = -\frac{G\cdot m_s\cdot \mathbf{r}}{\Vert\mathbf{r}\Vert^3}.

On en déduit donc que notre problème est indépendant de la masse de la planète, m_p.

Ainsi notre problème peut s'écrire sous la forme :

f(m_s,G,T,a)=0.

Nous avons donc un problème dépendant de 4 paramètres physiques dépendants de 3 unités fondamentales (ou dimensions) : la masse, \mathcal{M}; le temps, \mathcal{T}; la longueur \mathcal{L}. Notre problème dépend donc d'une seule variable adimensionnelle que l'on peut nommer \Pi.

Les dimensions des 4 variables physiques sont:

  • [m_s]=\mathcal{M}
  • [G]=\mathcal{L}^3\mathcal{M}^{-1}\mathcal{T}^{-2}
  • [T]=\mathcal{T}
  • [a]=\mathcal{L}

On peut donc choisir \Pi=\frac{G\cdot T^2\cdot m_s}{a^3}, et notre problème peut s'écrire:

F(\Pi)=0.

Donc \frac{G\cdot T^2\cdot m_s}{a^3} est une constante, valable dans tout système planétaire où la masse de l'étoile est très grande devant celle des planètes et où les planètes décrivent des trajectoires elliptiques.

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c Vaschy, A. (en) (1892): "Sur les lois de similitude en physique". Annales Télégraphiques 19, 25-28
  2. a et b Buckingham, E. (en) (1914): "On physically similar systems. Illustrations of the use of dimensional equations". Physical Review 4, 345-376
  3. Barenblatt, G.I. (1996): "Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics"

Voir aussi[modifier | modifier le code]