Théorème de Vaschy-Buckingham

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En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham[1],[2], ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle. Ce théorème établit que si une équation physique met en jeu n variables physiques, celles-ci dépendant de k unités fondamentales, alors il existe une équation équivalente mettant en jeu n - k variables sans dimension construites à partir des variables originelles.

Ce théorème a d'abord été démontré par le mathématicien français Joseph Bertrand[3] en 1878.

Énoncé de Vaschy[1][modifier | modifier le code]

Soit a_1, a_2, a_3,…a_n des quantités physiques, dont les p premières sont rapportées à des unités fondamentales distinctes et les (n-p) dernières à des unités dérivées des p unités fondamentales (par exemple a_1 peut être une longueur, a_2 une masse, a_3 un temps, et les (n-3) autres quantités a_4, a_5,…a_n seraient des forces, des vitesses, etc.; alors p=3). Si entre ces n quantités il existe une relation :


F(a_1,a_2,\ldots a_n)=0,

qui subsiste quelles que soient les grandeurs arbitraires des unités fondamentales, cette relation peut se ramener à une autre en (n-p) paramètres au plus, soit:


f(x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0,

les paramètres x_1, x_2,…x_{n-p} étant des fonctions monômes de a_1, a_2,…a_n (c'est-à-dire x_1=A.a_1^{\alpha1}a_2^{\alpha2}\ldots a_n^{\alpha n}, avec \alpha_i \in \R).

Démonstration de Vaschy[1][modifier | modifier le code]

Pour démontrer le théorème précédemment énoncé, remarquons que les quantités a_{p+1}, a_{p+2},…a_n étant rapportées à des unités dérivées, cela revient à dire que l'on peut trouver des exposants \alpha, \beta,… \alpha', \beta'… tels que les valeurs numériques des rapports


\frac{a_{p+1}}{a_1^\alpha a_2^\beta \ldots a_p^{\lambda}}=x_1,\ \ \frac{a_{p+2}}{a_1^{\alpha'}a_2^{\beta'}\ldots a_p^{\lambda'}}=x_2,\ldots,

soient indépendantes des valeurs arbitraires des unités fondamentales. (Ainsi  a_1, a_2, a_3, a_4 désignant respectivement une longueur, une masse, un temps et une force, le rapport \frac{a_4}{a_1a_2a_3^{-2}} auraient une valeur indépendante du choix des unités). Or, la relation:


F(a_1,a_2,\ldots a_p,a_{p+1},a_{p+2},\ldots)=0,

peut s'écrire:


F(a_1,a_2,\ldots a_p,x_1a_1^\alpha a_2^\beta \ldots a_p^{\lambda},x_2a_1^{\alpha'}a_2^{\beta'}\ldots a_p^{\lambda'},\ldots)=0.

Mais, en faisant varier les grandeurs des unités fondamentales, on pourra faire varier arbitrairement les valeurs numériques des quantités  a_1, a_2,… a_p dont les grandeurs intrinsèques sont supposées fixes, tandis que les valeurs numériques de  x_1, x_2,… x_{n-p} ne changeront point. La relation précédente devant subsister quelles que soient les valeurs arbitraires de  a_1, a_2,… a_p, doit être indépendantes de ces paramètres; cette relation prend ainsi la forme la plus simple:


f(x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0.

Généralisation[4][modifier | modifier le code]

Dans l'énoncé de Vaschy, les p premières grandeurs doivent être rapportées à des unités fondamentales distinctes. La généralisation consiste simplement à considérer que les p premières grandeurs sont dimensionnellement indépendantes, i.e. les dimensions de ces quantités ne peuvent être écrites comme une fonction monôme des dimensions des autres quantités. Par exemple prenons 4 grandeurs physiques, une densité volumique \rho, une aire A, une vitesse V et une accélération a. Les variables \rho, A et V sont dimensionnellement indépendante par contre les variables A, V et a ne le sont pas car [a]=[V]^2[A]^{-1/2}

Origine du nom « Théorème Π »[modifier | modifier le code]

Ce théorème est aussi nommé Théorème Π car il est d'usage en physique d'utiliser la lettre Π pour les variables physiques adimensionnelles qui ne sont pas baptisées comme le sont les nombres de Reynolds, Prandtl ou de Nusselt. C'est ainsi qu'elles sont nommées dans l'article de Buckingham[2].

Exemple d'application[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c Aimé Vaschy, « Sur les lois de similitude en physique », Annales Télégraphiques, vol. 19,‎ janvier-février , p. 25-28.
  2. a et b (en) Edgar Buckingham, « On physically similar systems. Illustrations of the use of dimensional equations », Physical Review, vol. 4, no 4,‎ , p. 345-376.
  3. J. Bertrand, « Sur l'homogénéité dans les formules de physique », Comptes rendus, vol. 86, no 15,‎ , p. 916–920 (lire en ligne).
  4. (en) Grigory Isaakovich Barenblatt, Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics : dimensional analysis and intermediate asymptotics, vol. 14, Cambridge University Press,‎ (ISBN 0 521 43516 1).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Tatjana Misic, Marina Najdanovic-Lukic et Ljubisa Nesic, « Dimensional analysis in physics and the Buckingham theorem », European Journal of Physics, vol. 31, no 4,‎ , p. 893-906 (DOI doi:10.1088/0143-0807/31/4/019).