Théorème de Vaschy-Buckingham

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En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham[1],[2], ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle. Ce théorème établit que si une équation physique met en jeu n variables physiques, celles-ci dépendant de k unités fondamentales, alors il existe une équation équivalente mettant en jeu n - k variables sans dimension construites à partir des variables originelles.

Ce théorème a d'abord été démontré par le mathématicien français Joseph Bertrand[3] en 1878.

Énoncé de Vaschy[1][modifier | modifier le code]

Soit a_1, a_2, a_3,…a_n des quantités physiques, dont les p premières sont rapportées à des unités fondamentales distinctes et les (n-p) dernières à des unités dérivées des p unités fondamentales (par exemple a_1 peut être une longueur, a_2 une masse, a_3 un temps, et les (n-3) autres quantités a_4, a_5,…a_n seraient des forces, des vitesses, etc.; alors p=3). Si entre ces n quantités il existe une relation :


F(a_1,a_2,\ldots a_n)=0,

qui subsiste quelles que soient les grandeurs arbitraires des unités fondamentales, cette relation peut se ramener à une autre en (n-p) paramètres au plus, soit:


f(x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0,

les paramètres x_1, x_2,…x_{n-p} étant des fonctions monômes de a_1, a_2,…a_n (par exemple x_1=Aa_1^{\alpha1}a_2^{\alpha2}\ldots a_n^{\alpha n}).

Démonstration de Vaschy[1][modifier | modifier le code]

Pour démontrer le théorème précédemment énoncé, remarquons que les quantités a_{p+1}, a_{p+2},…a_n étant rapportées à des unités dérivées, cela revient à dire que l'on peut trouver des exposants \alpha, \beta,… \alpha', \beta'… tels que les valeurs numériques des rapports


\frac{a_{p+1}}{a_1^\alpha a_2^\beta \ldots a_p^{\lambda}}=x_1,\ \ \frac{a_{p+2}}{a_1^{\alpha'}a_2^{\beta'}\ldots a_p^{\lambda'}}=x_2,\ldots,

soient indépendantes des valeurs arbitraires des unités fondamentales. (Ainsi  a_1, a_2, a_3, a_4 désignant respectivement une longueur, une masse, un temps et une force, le rapport \frac{a_4}{a_1a_2a_3^{-2}} auraient une valeur indépendante du choix des unités). Or, la relation:


F(a_1,a_2,\ldots a_p,a_{p+1},a_{p+2},\ldots)=0,

peut s'écrire:


F(a_1,a_2,\ldots a_p,x_1a_1^\alpha a_2^\beta \ldots a_p^{\lambda},x_2a_1^{\alpha'}a_2^{\beta'}\ldots a_p^{\lambda'},\ldots)=0.

Mais, en faisant varier les grandeurs des unités fondamentales, on pourra faire varier arbitrairement les valeurs numériques des quantités  a_1, a_2,… a_p dont les grandeurs intrinsèques sont supposées fixes, tandis que les valeurs numériques de  x_1, x_2,… x_{n-p} ne changeront point. La relation précédente devant subsister quelles que soient les valeurs arbitraires de  a_1, a_2,… a_p, doit être indépendantes de ces paramètres; cette relation prend ainsi la forme la plus simple:


f(x_1,x_2,\ldots x_{n-p})=0.

Généralisation[4].[modifier | modifier le code]

Dans l'énoncé de Vaschy, les p premières grandeurs doivent être rapportées à des unités fondamentales distinctes. La généralisation consiste simplement à considérer que les p premières grandeurs sont dimensionnellement indépendantes, i.e. les dimensions de ces quantités ne peuvent être écrites comme une fonction monôme des dimensions des autres quantités. Par exemple prenons 4 grandeurs physiques, une densité volumique \rho, une aire A, une vitesse V et une accélération a. Les variables \rho, A et V sont dimensionnellement indépendante par contre les variables A, V et a ne le sont pas car [a]=[V]^2[A]^{-1/2}

Origine du nom "Théorème \Pi"[modifier | modifier le code]

Ce théorème est aussi nommé "Théorème \Pi" car il est d'usage en physique d'utiliser la lettre \Pi pour les variables physiques adimensionnelles qui ne sont pas baptisées comme le sont les nombres de Reynolds, Prandtl ou de Nusselt. C'est ainsi qu'elles sont nommées dans l'article de Buckingham[2].

Exemple d'application[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c Aimé Vaschy (1892) : Sur les lois de similitude en physique. Annales Télégraphiques 19, 25-28
  2. a et b Edgar Buckingham (1914) : On physically similar systems. Illustrations of the use of dimensional equations. Physical Review 4, 345-376
  3. J. Bertrand, « Sur l'homogénéité dans les formules de physique », Comptes rendus, vol. 86, no 15,‎ 1878, p. 916–920 (lire en ligne)
  4. Barenblatt, G.I. (1996): "Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics"

Voir aussi[modifier | modifier le code]