Théorème de Bernoulli

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Le théorème de Bernoulli, qui a été établi en 1738 par Daniel Bernoulli, est la formulation mathématique du principe de Bernoulli qui statue que dans le flux d'un fluide, une accélération se produit simultanément avec la diminution de la pression. Dans un flux de fluide sans viscosité et donc dans lequel une différence de pression est la seule force d'accélération, la vitesse est équivalente à celle donnée par les lois du mouvement de Newton. Il est très commun que l'effet de Bernoulli soit cité pour affirmer qu'un changement de vitesse cause un changement de pression ; cependant le principe de Bernoulli ne fait pas ce rapport et ce n'est pas le cas.

Il a posé les bases de la dynamique des fluides et, d'une façon plus générale, de la mécanique des fluides. Initialement utilisé pour des fluides en circulation dans une conduite, il a trouvé un important champ d'application en aérodynamique (portance).

Formulation usuelle[modifier | modifier le code]

Pour un écoulement[1]

Alors, en régime permanent, si l'on néglige les transferts de chaleur, on vérifie :

 \frac{v^2}{2 \cdot g} + z +\frac{p}{\rho \cdot g}  = \mathrm{constante} [2]

où :

p\, est la pression en un point (en Pa ou N/m²)
\rho\, est la masse volumique en un point (en kg/m³)
v\, est la vitesse du fluide en un point (en m/s)
g\, est l'accélération de la pesanteur (en N/kg ou m/s²)
z\, est l'altitude (en m)

La constante intervenant dans le second membre de l'équation n'est pas universelle mais propre à l'écoulement, il s'agit d'une constante le long d'une ligne de courant, appelée charge. Avec ce choix de normalisation, elle est homogène à une longueur. Elle est exprimée en mètres (m)

Interprétation[modifier | modifier le code]

Cette équation traduit en fait le bilan de l'énergie le long d'une ligne de courant :

  • e_c = \tfrac1V \cdot \tfrac12 \cdot m \cdot v^2 = \tfrac12 \cdot \rho \cdot v^2 est la densité volumique d'énergie cinétique (énergie cinétique par unité de volume, m étant la masse du volume V de fluide) ;
  • e_z = \tfrac1V \cdot m \cdot g \cdot z = \rho \cdot g \cdot z est la densité volumique d'énergie potentielle de gravité ;
  • e_p = \tfrac1V \cdot p \cdot V = p est la densité volumique d'énergie due au travail des forces de pression.

La loi de bilan s'écrit donc

 e_c + e_z + e_p = \mathrm{constante}

soit

\tfrac12 \cdot \rho \cdot v^2 + \rho \cdot g \cdot z + p = \mathrm{constante}

ce qui amène à l'équation ci-dessus en divisant par ρ·g.

Formulations étendues[modifier | modifier le code]

Il existe d'autres formulations du théorème de Bernoulli applicables dans des contextes plus généraux.

  • Pour des fluides compressibles :

Lorsque les effets de compressibilité dans un fluide ne sont plus négligeables (vitesse des particules de fluide comparable à la vitesse du son dans le fluide), il devient nécessaire d'apporter une correction au terme caractérisant l'énergie potentielle élastique du fluide. Dans le cas idéal d'un gaz parfait et d'un processus adiabatique, on a :

 \frac {v^2}{2 \cdot g} + z +\left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho \cdot g}  = \mathrm{constante}[3]

\gamma\, est le rapport des capacités calorifiques du fluide : \frac{C_{p}}{C_{v}}.

  • Formulation thermodynamique :
 \frac {v^2}{2 \cdot g} + z + \frac{h}{g}  = \mathrm{constante}[4]

h désigne l'enthalpie spécifique (i.e. par unité de masse). h=u+\frac{p}{\rho}, où u désigne l'énergie interne spécifique du fluide.

  • échange d'énergie :

Dans le cas d'un écoulement d'un point A vers un point B avec échange d'énergie (présence d'une pompe ou d'une turbine), l'expression devient :

 \frac {1}{2} \rho \cdot v_A^2 + p_A + \rho \cdot g \cdot z_A +\frac {P}{Q_V} = \frac {1}{2} \rho \cdot  v_B^2 + p_B + \rho \cdot g \cdot z_B

 Q_V représente le débit-volume du fluide (en m³/s)

P représente la puissance (en watt) de la machine. P > 0 dans le cas d'une pompe (la puissance est reçue par le fluide) et P < 0 dans le cas d'une turbine (la puissance est fournie par le fluide).

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Applications[modifier | modifier le code]

  • À vitesse nulle (v = 0), on retrouve la loi de l'hydrostatique.
  • Effet Venturi :
    • Supposons maintenant que la vitesse ne soit pas nulle, mais que l'on reste toujours à la même altitude (z constant).
    • Si un liquide s'écoule dans une canalisation, alors comme il est incompressible, son débit (volume transitant à travers une surface par unité de temps) est constant. Si la canalisation s'élargit, alors la vitesse diminue (puisque le débit est le produit de la vitesse par la section, les deux varient à l'inverse). Le théorème de Bernoulli nous indique alors que la pression augmente. À l'inverse, si la canalisation se rétrécit, le fluide accélère et sa pression diminue. On qualifie ce dispositif expérimental de tube de Venturi.
    • Ce résultat est assez peu intuitif car on s'attendrait à ce que la pression augmente lorsque la section diminue.
  • Effet Magnus :
    • Si maintenant la conduite reste de section constante mais que l'on met un obstacle à l'intérieur ; l'obstacle diminue la section, on a donc le même effet. Si cet obstacle est un cylindre tournant, d'axe perpendiculaire à l'axe de la canalisation, alors le frottement accélère le fluide d'un côté et le ralentit de l'autre. On a donc une diminution de pression d'un côté et une augmentation de l'autre, le cylindre subit une force : c'est l'effet Magnus (l'on considère souvent l'effet Magnus dans l'air, qui est un fluide compressible, mais le principe général reste le même).
    • Si la canalisation a une section constante, et qu'elle ne présente pas d'obstacle, alors la vitesse est constante. Si l'altitude varie, alors l'équation de Bernoulli nous indique que la pression varie à l'opposé de l'altitude.
    • On peut évaluer alors la pression dynamique : q = \tfrac12 \cdot \rho \cdot v^2
  • Tube de Pitot  :
    • Cet appareil de mesure permet d'évaluer la vitesse d'écoulement d'un fluide en mesurant la différence de pression entre deux points A et B de l'écoulement joint par une ligne de courant. Au point A, le fluide est supposé être à vitesse (quasi) nulle, on cherche la vitesse en B. Les points étant sensiblement à la même altitude, on peut appliquer le théorème de Bernoulli sous sa forme usuelle entre A et B.

Approche historique[modifier | modifier le code]

La première formulation du théorème de Bernoulli apparaît dans Hydrodynamica - De viribus et motibus fluidorum commentarii de Daniel Bernoulli (première édition en 1738)[5]. Pour d'Alembert, ce texte est l'œuvre fondatrice de l'hydrodynamique en tant que discipline physique moderne[6].

Il est alors formulé comme un bilan macroscopique global et une méthode de calcul, dans le cadre de la résolution d'un problème technique : la détermination de la durée de vidange des vases munis d'un orifice.

La justification réside dans l'égalité de la montée potentielle et de la descente actuelle[7]. Il s'agit d'une transposition aux fluides de la conservation des forces vives, déjà connue en mécanique, et qui est en fait l'ancêtre du principe de conservation de l'énergie dans le domaine de la physique classique.

C'est seulement en 1755, avec les travaux d'Euler[8], que le théorème apparaît sous la forme d'un bilan local plus proche des formulations contemporaines.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « Mécanique des fluides », sur ac-nancy-metz.fr (consulté le 3 octobre 2010)
  2. Bruhat, G., Mécanique, 6e édition, Masson, 1967
  3. (en) Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 3.11, Pitman Publishing, London, 1975
  4. (en) Van Wylen, G.J., and Sonntag, R.E., Fundamentals of Classical Thermodynamics, Section 5.9, John Wiley and Sons Inc., New York, 1965
  5. Danieli Bernoulli, Hydrodynamica, Service Commun de la Documentation - Patrimoine numérisé
  6. Jean Le Rond d'Alembert, article Hydrodynamique de l'Encyclopédie (Tome VIII), 1765 Encyclopédie, ou Dictionnaire Raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers
  7. traduction de Jean Peyroux, 2004
  8. Leonhard Euler, Principes Généraux du mouvement des fluides, 1755 [1]