Écoulement incompressible

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Un fluide est dit en écoulement incompressible si sa masse volumique est constante au cours du mouvement, ce qui se traduit par une dérivée particulaire du champ scalaire de masse volumique nulle (description eulérienne).

Traduction mathématique

Si l'on note $\mu = \mu (M,t)$ la masse volumique en un point M à un instant t et si l'on considère l'écoulement incompressible alors :

$\frac{D\mu}{Dt}=0$

où $\frac{D\mu}{Dt}$ est la dérivée particulaire de la masse volumique.

On peut caractériser un tel écoulement par la relation suivante :

$\mathrm{div} \vec{v} = 0$

où $\vec{v} = \vec{v}(M,t)$ est la vitesse d'une particule de fluide en un point M à un instant t.

Équivalence

En effet, l'équation de conservation de la masse donne :

$\frac{\partial \mu}{\partial t}+\hbox{div}(\mu\ \vec{v})=0$.

Par les formules d'analyse vectorielle :

$\frac{\partial \mu}{\partial t}+\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mu )+\mu\; \hbox{div}(\vec{v})=0$.

On reconnaît la dérivée particulaire :

$\frac{D\mu}{Dt}+\mu\; \hbox{div}(\vec{v})=0$

$\Rightarrow \hbox{div}(\vec{v})=0$.

Lien avec la compressibilité

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Annexes

Articles connexes

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