Équations d'Euler

L'équation d'Euler (établie par Leonhard Euler en 1755) s'applique dans le cas d'un fluide parfait, c’est-à-dire un fluide non visqueux et sans conductivité thermique. Le fluide peut être incompressible ou compressible (à condition, dans ce dernier cas, de se placer dans l'hypothèse de vitesses faibles^{[réf. nécessaire]}) . Complétée par d'autres équations tirées de la dynamique des fluides parfaits, elle permet de caractériser le mouvement du fluide, en calculant, notamment, sa pression et sa vitesse.

Une intégration le long d'une ligne de courant de cette équation permet d'obtenir l'équation de Bernoulli.

L'équation d'Euler dérive du principe fondamental de la dynamique, $\scriptstyle \sum \vec F = m.\vec a$, appliqué à une particule fluide (forme locale) :

$- \overrightarrow{\nabla p} + \rho.\overrightarrow{g} = \rho.\overrightarrow{a} = \rho \frac{\mathrm d\overrightarrow v}{\mathrm dt}$.

• Le terme $\textstyle\rho.\vec{g}$ correspond aux forces de pesanteur par unité de volume (N.m^-3) subies par la particule fluide.
• Le terme $\scriptstyle - \vec{\nabla p}$, aussi noté $\scriptstyle - \vec{\rm{grad}}\, p$ correspond aux forces par unité de volume (N.m^-3) de pression sur les surfaces de la particule.
• Le terme $\textstyle\rho \frac{\rm d\vec v}{\rm dt}$ correspond à la variation de la quantité de mouvement par unité de volume de la particule.

Dans le cas où la description du problème est une description eulérienne, on peut alors écrire :

$- \overrightarrow{\nabla p} + \rho\overrightarrow{g} = \rho \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t} = \rho \left( \frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + (\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\nabla})\overrightarrow{v}\right)$ ;

ou encore :

$- \overrightarrow{\nabla p} + \rho\overrightarrow{g} = \rho \left( \frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial t} + \frac 1 2 \nabla\overrightarrow{v}^2 + (\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{v})\wedge\overrightarrow{v} \right)$.