Capacité thermique massique

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La capacité thermique massique (symbole c ou s), anciennement appelée chaleur massique ou chaleur spécifique[1] , est déterminée par la quantité d'énergie à apporter par échange thermique pour élever d'un kelvin la température de l'unité de masse d'une substance. C'est donc une grandeur intensive égale à la capacité thermique rapportée à la masse du corps étudié.

L'unité du système international est alors le joule par kilogramme-kelvin (J·kg-1·K-1). La détermination des valeurs des capacités thermiques des substances relève de la calorimétrie.

Suivant le type de transformation thermodynamique, on considère soit l'énergie interne massique, soit l'enthalpie massique. Si on note U l'énergie interne, H l'enthalpie et m la masse d'un corps on a donc les capacités thermiques massiques :

  • à volume constant : c_V = \frac{1}{m}\, \left(\frac{\partial U}{\partial T} \right)_V  ;
  • à pression constante : c_p = \frac{1}{m}\,\left(\frac{\partial H}{\partial T} \right)_p.

La différence entre la chaleur spécifique à pression constante c_p et la chaleur spécifique à volume constant c_V est liée au travail qui doit être fourni pour dilater le corps en présence d'une pression externe. Si elle est souvent négligeable pour les phases condensées réputées peu compressibles et peu dilatables (liquides ou solides) la différence entre c_V et c_p est importante pour les gaz.

La capacité thermique volumique exprimée en Joule par mètre cube-kelvin est égale à la capacité thermique massique multipliée par la masse volumique.

Cas des gaz parfaits[modifier | modifier le code]

D'après la théorie cinétique des gaz, l'énergie interne d'une mole de gaz parfait monoatomique est égale à (3/2)RT, et plus élevée pour les gaz dont les molécules sont polyatomiques ; par exemple, (5/2)RT pour un gaz diatomique. Le calcul théorique n'est plus possible pour les molécules complexes.

La capacité massique à volume constant est ainsi de :

  • C_V = \frac{3R}{2M} pour un gaz parfait monoatomique ;
  • C_V = \frac{5R}{2M} pour un gaz parfait diatomique, lorsque sa température T_\textrm \, vérifie T_\textrm{rotation} < T < T_\textrm{vibration} \,. En effet si  T < T_\textrm{rotation}\, on aura C_V = \frac{3R}{2M} (son comportement sera celui d'un gaz monoatomique), et si  T > T_\textrm{vibration} \, on aura C_V = \frac{7R}{2M} pour un gaz diatomique.

La capacité massique à pression constante d'un gaz parfait peut être déterminée à partir de la capacité massique à volume constant, puisque l'équation des gaz parfaits exprime que :

pv = \frac{RT}{M}, et donc : \frac{\partial (pv)}{\partial T} = \frac{R}{M}

p étant la pression, v le volume massique[2], R la constante molaire des gaz[3], et M la masse molaire du gaz considéré.

La différence théorique entre ces deux valeurs donne alors la Relation de Mayer :

C_p - C_V = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V,N} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p,N}

p, V, N et T sont respectivement la pression, le volume, le nombre de particules et la température du système considéré ;

soit :

C_p - C_V = \left( \frac{\partial (u+pv)}{\partial T} \right)_p - \left( \frac{\partial u}{\partial T} \right)_V = \frac{R}{M}, u ne dépendant que de la température.

Le rapport des deux capacités d'un gaz est important en thermodynamique ; il est noté gamma :

\gamma = \frac{C_p}{C_V}

Sa valeur dépend de la nature du gaz considéré ; pour un gaz parfait, la valeur théorique de γ est :

  • γ = 5/3= 1,67 pour un gaz monoatomique (1/(γ-1)=3/2=1,5) ;
  • γ = 7/5= 1,4 pour un gaz diatomique (1/(γ-1)=5/2=2,5).
Capacité thermique massique de gaz à pression constante, sous atmosphère normale
Gaz Masse molaire
(kg/mol)
température
(°C)
cp
capacité massique

J/(kg.K)

\frac{1}{(\gamma - 1)}
Air 29×10-3 0-100 1004 2,48
Argon 39,948×10-3 15 320 1,54
Azote 28,013×10-3 0-200 730 2,46
Dioxyde de carbone 44,01×10-3 20 650 3,44
Hélium 4,003×10-3 18 3160 1,52
Dihydrogène 2,016×10-3 16 10140 2,46
Dioxygène 31,999×10-3 13-207 920 2,50
Vapeur d'eau 18,015×10-3 100 1410 3,06

D'une manière générale pour les gaz parfaits, on a les capacités thermiques molaires [J/mol/K] suivantes : C_{Vm} = \frac{R}{\gamma - 1} et C_{Pm} = \frac{R . \gamma}{\gamma - 1}

Cas des solides[modifier | modifier le code]

Valeurs courantes[modifier | modifier le code]

Substance

(phase solide)

Capacité thermique

massique J·kg-1·K-1

Asphalte 921
Brique 840
Béton 880
Granite 790
Gypse 1090
Marbre 880
Sable 835
Verre 720[4]
Bois ≈ 1200-2700[5],[6]

Cas des solides cristallisés[modifier | modifier le code]

Dans le cas des solides, à suffisamment haute température, la loi de Dulong et Petit est applicable et permet notamment de retrouver que, à basse température,  C_V \sim T^3 du fait de la contribution des phonons. Si le solide est un métal, il faut ajouter la contribution des électrons qui est proportionnelle à la température.

Les coefficients de dilatation des corps solides et liquides sont généralement suffisamment faibles pour qu'on néglige la différence entre Cp et CV pour la plupart des applications.

Substance \Theta (K)
Al 398
C (diamant) 1860
Cu 315
Fe 420
K 99
Pb 88

Suivant la théorie de Debye, la capacité thermique molaire d'un corps simple solide peut être déterminée au moyen de la formule :

C_V(T)=3R (4D(u) - \frac{3u}{\exp{u}-1})

avec u=\frac{\Theta}{T},

\Theta est la température de Debye, qui est une caractéristique de chaque substance,

R est la constante molaire des gaz[3],

et D(u)=\frac{3}{u^3}\int_{0}^{u}(\frac{x}{2}+\frac{x}{\exp{(x)}-1})x^2dx.

Cette formule se simplifie à basse température, ainsi qu'à haute température ; dans ce dernier cas, nous retrouvons la loi de Dulong et Petit :

C_V(T)=\begin{cases} \frac{12}{5}\pi^4 R\cdot (\frac{T}{\Theta})^3, & \mbox{si }T<<\Theta \\ 3R & \mbox{si }T>>\Theta \end{cases}

La théorie n'est plus valable pour les corps composés.

Formules empiriques[modifier | modifier le code]

Pour des corps purs (solides, liquides ou gazeux) et à pression constante, 2 formules empiriques à 3 paramètres ont pu être dégagées, pour un intervalle de température donné :

C_{p}=a+bT+cT^2 ou bien C_{p}=a'+b'T+c' T^{-2}.

Les valeurs des coefficients sont indiqués dans des tables et sont caractéristiques d'un corps donné.

Pour le bois sec, par exemple, on a[6] :

c_{p,anhydre} = 0,1031 + 0,003867\, T

avec :

  • c_{p,anhydre} : exprimé en kJ·kg–1·K–1
  • T : température thermodynamique (K).

À 20 °C, on obtient 1236 J/kg.K pour le bois sec.

Pour le bois humide[6] :

c_{p,humide} = \frac{100\,c_{p,anhydre} + Hs\,c_{p,eau}}{100 + Hs}

Hs est la masse d'eau rapportée à la masse du bois sec en %.

Mesure de la capacité thermique massique d'un solide[modifier | modifier le code]

La capacité thermique massique d'un solide peut être mesurée en utilisant un appareil de type ATD (analyse thermodifférentielle, ou DSC pour differential scanning calorimetry). Elle peut se définir de la façon suivante : quand un système passe de la température T à une température T+dT, la variation d’énergie interne du système dU est liée à la quantité de chaleur échangée δQ selon :

 dU= \delta Q -p_edV\,

avec pe la pression extérieure à laquelle est soumis le système et dV la variation de volume. Si V=Cte:

 dU= \delta Q_v = C_v dT\,

En revanche, si la transformation est isobare (pression constante), on obtient en utilisant la fonction enthalpie du système, la relation :

 dH = \delta Q + Vdp\,

Si P= cte

 dH = \delta Q_p = C_pdT\,

avec Cp la capacité à pression constante. La mesure consiste donc à mesurer la différence de température créée par un échange thermique donné, ou le flux d'énergie se traduit par une différence de température.

Le schéma suivant illustre la technique instrumentale utilisée dans le cas de la première méthode (mesure de la différence de température).

Schéma représentant un dispositif de mesure des capacités thermiques.

L’appareil est constitué de deux « plots » indépendants et d’un four. Des thermocouples permettent de mesurer la température de la face supérieure des plots en contact avec l’échantillon, ainsi que la température du four. Celle-ci correspond à la température de mesure. Toutes les mesures sont effectuées en utilisant un porte-échantillon d’aluminium vide sur l’un des plots. Une première mesure d’un autre porte-échantillon d’aluminium vide permet d’obtenir une ligne de base (dépendant de la mesure de température par les thermocouples). Puis une mesure d’un échantillon de référence de chaleur massique connue permet d’étalonner l’appareil. Enfin, l’échantillon sous forme de poudre est mesuré et sa chaleur massique est obtenue par comparaison avec celle de l’échantillon de référence. Pour améliorer la précisions de la mesure, il convient de prendre en compte le cas échéant la différence de masse entre les deux porte échantillons (la correction s'effectue en utilisant la chaleur massique de l'aluminium). La source d’erreur principale provient de la qualité du contact thermique entre le plot et le porte-échantillon.

Valeurs pour différentes substances[modifier | modifier le code]

Capacité thermique massique à pression constante dans les conditions normales de température et de pression (sauf indication contraire)
Substance Phase Capacité thermique
massique
J·kg-1·K-1
Air (sec) gaz 1005
Air (saturé en vapeur d'eau) gaz ≈ 1030
Aluminium solide 897
Azote gaz 1042
Cuivre solide 385
Diamant solide 502
Eau gaz 1850
liquide 4185
solide (°C) 2060
Éthanol liquide 2460
Fer solide 444
Graphite solide 720
Hélium gaz 3160
Hexane liquide ≈ 2267.95
Huile liquide ≈ 2000
Hydrogène gaz 14300
Laiton solide 377
Lithium solide 3582
Mercure liquide 139
Octane liquide ≈ 1393.33
Or solide 129
Dioxygène gaz 920
Zinc solide 380

Notes[modifier | modifier le code]

  1. On rencontre parfois le terme spécifique, dans le même sens que massique. C'est un calque de l'anglais specific heat désignant le terme français chaleur massique
  2. Le volume massique est la grandeur inverse de la masse volumique.
  3. a et b R = 8,314 4 J/K/mol.
  4. http://www.verreonline.fr/v_plat/prop_therm1.php
  5. Eugène Péclet, Traité de la chaleur, considérée dans ses applications, D. Avanzo et Ce,‎ 1844, 420 p. (lire en ligne), p. 17
    Les valeurs indiquées sont en calorie/kg/°C.
  6. a, b et c « Bois énergie », Techniques de l'ingénieur, 10 juillet 2004, réf BE 8535.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]