Advection

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques, la physique et la météorologie ou la climatologie. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

L'advection correspond au transport d'une quantité (scalaire ou vectorielle), par un champ vectoriel. C'est une notion courante en mécanique des fluides car toutes les caractéristiques d'une particule fluide sont advectées lors de son déplacement au sein de l'écoulement. Dans l'équation de Navier-Stokes, l'advection du vecteur vitesse apparaît dans le terme d'inertie, qui correspond à l'advection de la quantité de mouvement.

En météorologie et en océanographie, l'advection se réfère surtout au transport horizontal de certaines propriétés par les fluides considérés, dont le transport par le vent ou les courants : advection de vapeur d'eau, de chaleur, de salinité, etc.

Description mathématique

L'opérateur advection correspond au produit scalaire du vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ par le vecteur gradient (Nabla) $\overrightarrow\nabla$ .

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla = u \frac{\partial}{\partial x} + v \frac{\partial}{\partial y} + w \frac{\partial}{\partial z}$

où $(u, v, w)$ sont les composantes de la vitesse $\overrightarrow{v}$ selon les coordonnées $(x, y, z)$.

Cet opérateur est ensuite appliqué à la propriété considérée.

Advection d'une quantité scalaire

Par exemple, l'advection de température $T$ est exprimée par :

$\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) T = u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y}+ w \frac{\partial T}{\partial z}$

Advection d'une quantité vectorielle

Par exemple, l'advection du vecteur vitesse $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} u\\v\\w\end{pmatrix}$, est exprimée par :

$\left(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla\right)\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} {\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) u} \\ \\ {\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) v} \\ \\ {\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) w} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} {u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}+ w \frac{\partial u}{\partial z}} \\ \\ {u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}+ w \frac{\partial v}{\partial z}} \\ \\ {u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y}+ w \frac{\partial w}{\partial z}} \end{pmatrix}$

L'advection d'une quantité vectorielle équivaut donc à appliquer l'opérateur advection sur chacune des trois composantes du vecteur, dans le cas de la vitesse :

advection de la composante $u$  : ${\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) u}=u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}+ w \frac{\partial u}{\partial z}$

advection de la composante $v$  : ${\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) v}=u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}+ w \frac{\partial v}{\partial z}$

advection de la composante $w$  : ${\left( \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla \right) w}=u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y}+ w \frac{\partial w}{\partial z}$

Cas d'une pression hydrostatique selon la verticale

Si on considère que la répartition verticale des pressions est hydrostatique, c'est-à-dire que :

$\partial p = -\rho g \partial z$

alors, on peut remplacer la coordonnée $z$ par la pression :

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla = u \frac{\partial}{\partial x} + v \frac{\partial}{\partial y} + \Omega \frac{\partial}{\partial p}$

où

• $\Omega=-b\rho g$ est le déplacement vertical en coordonnées de pression ;
• $p$ est la pression ;
• $\rho$ est la masse volumique du fluide ;
• $g$ est l'accélération terrestre.

Cas de l'advection appliquée à la vitesse

L'advection appliquée à la vitesse peut se décomposer sous la forme dite « de Lamb » :

$\left(\overrightarrow{v}\,.\,\overrightarrow{grad}\right)\,\overrightarrow{v} = \overrightarrow{grad}\,\frac{v^2}{2\,\,}+ \left(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{v}\right) \wedge \overrightarrow{v}$

Cela se vérifie par le calcul.

On peut alors définir :

• le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{v}$, dénommé vecteur vorticité.
• le vecteur $\overrightarrow{l}=\left(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{v}\right) \wedge \overrightarrow{v} =\overrightarrow{w}\wedge \overrightarrow{v}$, dénommé vecteur « de Lamb »

Ces définitions sont très utiles pour l'étude de la turbulence dans les fluides.