Tenseur des contraintes

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Le tenseur des contraintes est une représentation utilisée en mécanique des milieux continus pour caractériser l'état de contrainte, c'est-à-dire les efforts intérieurs mis en jeu entre les portions déformées du milieu. Le terme a été introduit par Cauchy vers 1822.

Comme les efforts intérieurs sont définis pour chaque surface coupant le milieu (on parle d'ailleurs également d'efforts surfaciques), le tenseur est défini localement, en chaque point du solide. L'état de contrainte du solide est donc représenté par un champ tensoriel. On parle aussi de ce fait de champ de contrainte.

Dans le cadre de l'élasticité linéaire, le champ de contrainte est relié au champ de déformation par la loi de Hooke généralisée, c'est-à-dire que l'on peut écrire l'équation tensorielle (et non algébrique) \sigma =  E \varepsilon.

Dans le cadre de la géologie structurale et de la tectonique, on parle fréquemment de tenseur de paléo-contraintes. Il représente la partie anisotrope du tenseur des contraintes, responsable des déformations comme les plis, les failles ou les schistosités. La valeur absolue des termes de la matrice n'est pas accessible, mais il est possible de retrouver l'orientation du triaxe principal, ainsi que le rapport d'intensité entre ces trois axes.

Dans certains cas, il est possible de visualiser ces contraintes par la méthode de photoélasticimétrie.

Construction du tenseur[modifier | modifier le code]

Dans les cas de sollicitation simples — traction/compression uniaxiale, flexion, torsion —, la contrainte peut être représentée par un simple nombre (scalaire). Par ailleurs, les logiciels de calcul par éléments finis restituent une carte couleur représentant la contrainte équivalente, qui est elle aussi un scalaire. Mais pour décrire précisément l'état de contrainte, il faut utiliser une matrice 3×3, ou tenseur.

Prenons une base (\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}) et un point M de la pièce. Considérons un cube de matière autour de M, d'arête infinitésimale dx = a, et dont les arêtes sont parallèles aux axes du repère.

numérotation des faces du cube

Numérotons ses faces :

les faces i et -i sont les faces normales à \vec{e_i}, en partant du centre du cube, \vec{e_i} pointe vers i, la face -i étant la face opposée.

Dans un premier temps, nous ne considérons que les faces numérotées positivement.

Indices des composantes du tenseur

Sur la face j s'exerce un vecteur-force \vec{\mathrm{F}}_j qui a trois composantes :

\vec{\mathrm{F}}_j = \begin{pmatrix}
\mathrm{F}_{1j} \\ \mathrm{F}_{2j} \\ \mathrm{F}_{3j}
\end{pmatrix}

Fij étant la composante selon \vec{e_i} du vecteur-force s'exerçant sur la face j.

La surface de chaque facette étant a2, on peut définir neuf composantes σij homogènes à des contraintes :

\sigma_{ij} = \frac{\mathrm{F}_{ij}}{a^2}

On décrit donc l'état de contrainte par le tenseur

\mathrm{T}(\mathrm{M}) = \begin{pmatrix} 
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}\\
\end{pmatrix}

T est un tenseur d'ordre 2, à 3 lignes et 3 colonnes. Il est défini localement pour un point M donné.

En mécanique, on n'utilise pas toujours la notation généralisée (\vec{e_i}) pour la base. Si l'on note la base (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}), les composantes du tenseur se notent alors :

\mathrm{T}(\mathrm{M}) = \begin{pmatrix} 
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}\\
\end{pmatrix}

Les termes hors diagonale correspondant à du cisaillement, on les note souvent τij , les composantes du tenseur se notent alors :

\mathrm{T}(\mathrm{M}) = \begin{pmatrix} 
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz}\\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}\\
\end{pmatrix}

Symétrie du tenseur des contraintes[modifier | modifier le code]

En statique, le tenseur des contraintes est toujours symétrique, c'est-à-dire que :

σi j = σj i

ce qui traduit l'équilibre en moment d'un volume infinitésimal.

Le tenseur s'écrit donc :

\mathrm{T}_{ij} = \begin{pmatrix} 
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\
\sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
\sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33}\\
\end{pmatrix}
.

Du fait de cette symétrie, on peut écrire le tenseur comme un vecteur, selon la notation de Voigt : en définissant

  • σ1 = σ11, σ2 = σ22, σ3 = σ33 ;
  • σ4 = σ23, σ5 = σ13, σ6 = σ12 ;

On peut alors mettre le tenseur sous la forme :

\mathrm{T}_{i} = \begin{pmatrix} 
\sigma_{1} \\
\sigma_{2} \\
\sigma_{3} \\
\sigma_{4} \\
\sigma_{5} \\
\sigma_{6} \\
\end{pmatrix}
.

Ceci facilite l'écriture de la loi de Hooke généralisée. On voit aussi que l'espace des contraintes est un espace vectoriel à six dimensions.

Pression isostatique[modifier | modifier le code]

La pression isostatique p est définie comme le tiers de la trace de la matrice, c'est-à-dire comme la moyenne des termes diagonaux :

p = \frac{\mathrm{tr}(\mathrm{T})}{3} = \frac{\sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33}}{3}

Sa valeur ne dépend pas du repère x y z utilisé.

C'est une généralisation de la notion de pression hydrostatique dans les liquides. Dans le cadre de la géophysique, on parle de pression lithostatique. Toutefois, dans ces cas-là, on considère -p : une contrainte de compression a une valeur négative, p est donc négatif dans ces cas-là.

Principe de la coupure[modifier | modifier le code]

Une manière simple de déterminer le tenseur des contraintes consiste à employer le « principe de la coupure ». Il s'agit d'une opération de pensée dans laquelle on scie l'objet selon un plan donné.

Supposons un solide se déformant sous l'effet de deux forces extérieures opposées. Si l'on coupe le solide en deux et que l'on sépare les moitiés, alors chaque moitié n'est soumise qu'à une seule force et donc n'est plus déformée mais mise en mouvement. Pour que chaque moitié retrouve sa déformation, il faut exercer une pression sur chacune des faces de la coupure.

Lorsqu'il y a des symétries évidentes à un problème, le choix de plans de coupe judicieux permet de déterminer de manière simple le tenseur des contraintes. C'est ainsi que l'on peut déterminer que dans le cas de la torsion d'un tube, on a un cisaillement pur.

Article détaillé : Principe de la coupure.

Calcul des vecteurs-contrainte[modifier | modifier le code]

Tétraèdre permettant de calculer le vecteur-contrainte normal à une face quelconque

Considérons le petit élément de volume d\tau délimité par le tétraèdre de sommets O, (dx1,0,0),(0,dx2,0), (0,0,dx3). Les vecteurs normaux aux faces sont donc \vec e_1,\vec e_2,\vec e_3 et le vecteur de composantes (1/\mathrm{d}x_1, 1/\mathrm{d}x_2, 1/\mathrm{d}x_3). La force \vec{\mathrm{F}} s'exerçant sur une face vérifie

\vec \mathrm{F} = \mathrm{T} \cdot \vec n

\vec n le vecteur caractéristique de la face, c'est-à-dire le vecteur normal ayant pour norme l'aire de la face.

On a par exemple sur la face [O, (dx1,0,0),(0,dx2,0)], la relation

\vec \mathrm{F} = \begin{pmatrix} \mathrm{F}_1 \\ \mathrm{F}_2 \\ \mathrm{F}_3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\
\sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
\sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33}\\
\end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ (\mathrm{d}x_1 \cdot \mathrm{d}x_2)/2\\\end{pmatrix}

Contraintes principales[modifier | modifier le code]

Il existe (au moins) une base orthonormée de l'espace dans laquelle le tenseur des contraintes est une matrice diagonale :

\mathrm{T}_{ij} = \begin{pmatrix}
\sigma_1 & 0 & 0 \\
0 & \sigma_2 & 0 \\
0 & 0 & \sigma_3 \\
\end{pmatrix}.

Ceci résulte de la symétrie de ce tenseur. Les valeurs σ1, σ2 et σ3 sont appelées contraintes principales (il ne faut pas les confondre avec les contraintes en notation de Voigt).

Invariants du tenseur des contraintes[modifier | modifier le code]

Les contraintes principales permettent de déterminer les invariants du tenseur, c'est-à-dire les valeurs qui sont indépendantes de la base :

\mathrm{I}_1 = \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 = \mathrm{tr}(\mathrm{T}_{ij})\; ;
\mathrm{I}_2 = \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2 \sigma_3 + \sigma_3 \sigma_1 = \mathrm{tr}(\mathrm{com}(\mathrm{T}_{ij})) = \sigma_{11}\sigma_{22} + \sigma_{22}\sigma_{33} + \sigma_{33}\sigma_{11} -\sigma_{12}^2 - \sigma_{23}^2 - \sigma_{31}^2 ;
\mathrm{I}_3 = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \mathrm{det}(\mathrm{T}_{ij})\;.

Notons que l'on a :

p = \frac{\mathrm{I}_1}{3}

Déviateur[modifier | modifier le code]

Le tenseur des contraintes peut se décomposer en une somme de deux tenseurs : le déviateur (sij ) et la pression isostatique p⋅(δij ) :

\mathrm{T}_{ij} = \begin{pmatrix} 
s_{11} & s_{12} & s_{13} \\
s_{12} & s_{22} & s_{23} \\
s_{13} & s_{23} & s_{33} \\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} 
p & 0 & 0 \\
0 & p & 0 \\
0 & 0 & p \\
\end{pmatrix}
.

Cette décomposition simplifie l'expression des énergies de déformation élastique de changement de volume et de distorsion.

Le déviateur a les mêmes directions principales que le tenseur des contraintes, on a alors dans ce repère :

s_{ij} = \begin{pmatrix} 
s_{1} & 0 & 0 \\
0 & s_{2} & 0 \\
0 & 0 & s_{3} \\
\end{pmatrix}
.

On peut définir des invariants pour le déviateur :

\mathrm{J}_1 = s_{1} + s_{2} + s_{3} = \mathrm{tr}(s_{ij}) = 0 ;
\mathrm{J}_2 = - s_1 s_2 - s_2 s_3 - s_1 s_3 ;
\mathrm{J}_3 = s_1 s_2 s_3 = \mathrm{det}(s_{ij}).

Notons que l'on a aussi :

\mathrm{J}_1 = s_{11} + s_{22} + s_{33} ;
\begin{align}
\mathrm{J}_2 & = - \tfrac{1}{2} \sum_{i, j} s_{ij} s_{ji} \\
& = \tfrac{1}{6} \left (
   (\sigma_{11} - \sigma_{22})^2 + (\sigma_{22} - \sigma_{33})^2 + (\sigma_{33} - \sigma_{11})^2
   +6(\sigma_{12}^2 + \sigma_{23}^2 + \sigma_{13}^2)
\right ) \\
& = \tfrac{1}{6} \left (
   (\sigma_{1} - \sigma_{2})^2 + (\sigma_{2} - \sigma_{3})^2 + (\sigma_{1} - \sigma_{3})^2
\right ) \\
& = \tfrac{1}{3} \mathrm{I}_1^2 - \mathrm{I}_2 \\
\end{align}
 ;
\begin{align}
\mathrm{J}_3 & = \tfrac{1}{3} \sum_{i, j, k} s_{ij} s_{jk} s_{ki} \\
& = \tfrac{2}{27} \mathrm{I}_1^3 - \tfrac{1}{3} \mathrm{I}_1 \mathrm{I}_2 + \mathrm{I}_3
\end{align}
.

Ces invariants sont utiles pour définir le domaine élastique et la contrainte de comparaison.

Contrainte équivalente[modifier | modifier le code]

Il est souvent utile de synthétiser le tenseur des contraintes par un scalaire, appelé « contrainte équivalente », σe :

σe = ƒ(σij)

On peut ensuite comparer cette valeur avec les paramètres du matériau établis par l'essai de traction uniaxial, et notamment la limite d'élasticité Re et la résistance à la traction Rm. Les deux contraintes équivalentes les plus utilisées sont celles de Tresca et de von Mises.

Article détaillé : Contrainte équivalente.

Cette approche est toutefois insuffisante dans les cas d'endommagement complexe, comme la fatigue pour des contraintes triaxiales.

Triaxialité des contraintes[modifier | modifier le code]

La triaxialité des contraintes, notée η (lettre grecque « êta »), est le rapport entre la contrainte isostatique et la contrainte équivalente de von Mises :

η = pe vM = σii/(3σe vM)

(avec la notation d'Einstein).

Ce paramètre est important dans l'étude de l'endommagement et de la mécanique de la rupture. Dans les cas simples, on a :

  • cisaillement pur : η = 0 ;
  • traction uniaxiale : η = 1/3.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]