Équation de la chaleur

En mathématiques et en physique théorique, l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique, introduite initialement en 1811 par Fourier pour décrire le phénomène physique de conduction thermique.

Équation de la chaleur

Soit $\Omega$ un domaine de $\R^3$ de frontière $\partial \Omega$ et $T(x,t)$ un champ de température sur ce domaine. En présence d'une source thermique dans le domaine, et en l'absence de transport de chaleur (convection), l'équation de la chaleur s'écrit :

$\forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad \frac{\partial T }{\partial t}(x,t) \ = \ D \, \Delta T(x,t) + \frac{P}{\rho c}$

où

• $\Delta$ est l'opérateur Laplacien,
• $D$ est le coefficient de diffusivité thermique (en m²/s),
• $P$ une éventuelle production volumique de chaleur (en W/m³),
• $\rho$ est la masse volumique du matériau (en kg/m³),
• $c$ la chaleur spécifique massique du matériau (en J/kg·K).

Pour que le problème soit mathématiquement bien posé, il faut en général spécifier :

1. une condition initiale : $\forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad T (x,0) \ = \ T_0(x)$ ;
2. une condition aux limites sur le bord du domaine, par exemple :
   • de Dirichlet : $\forall \, x \, \in \, \partial \Omega \, , \quad T (x,t) \ = \ 0$ ;
   • ou de Neumann : $\forall \, x \, \in \, \partial \Omega \, , \quad \frac{\partial T (x,t)}{\partial n} \ = \ \vec{n}(x) \cdot \vec{\nabla} T(x,t) \ = \ 0$, où $\vec{n}(x)$ est le vecteur normal unitaire au point x.

Établissement de l'équation de la chaleur

Il existe plusieurs approches, par exemple le bilan pour un volume de contrôle. On suit ici un raisonnement s'appuyant sur la thermodynamique et la loi de Fourier.

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à un volume $\tau$ de conducteur contenu à l'intérieur d'une surface $\Sigma$ entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$ :

$U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=\delta W + \delta Q$

on considère ici un système isochore par conséquent $\delta W = 0$. De plus,

$U(t) = \iiint_\tau \rho c T(t) \mathrm{d}\tau + f(V)$

où $\rho$ est la masse volumique du matériau (en kg/m³), $c$ la chaleur spécifique massique du matériau (en J/kg.K) et $f(V)$ est une fonction du volume. Alors

$U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=\iiint_\tau \rho c (T(t+\mathrm{d}t)-T(t)) \mathrm{d}\tau = \iiint_\tau \rho c \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm{d}t \mathrm{d}\tau$

On a aussi, par définition de $\vec{\jmath}_{Q}$ (vecteur densité de flux de chaleur) et de la densité volumique de source de chaleur par unité de temps P (en W/m³) :

(note pour le signe : $\vec{\jmath}_{Q}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$ est positif quand le flux est vers l'extérieur, donc la variation de chaleur est alors négative dans le volume)

$\delta Q = - \left(\iint_{\Sigma} \vec\jmath_{Q}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\right)\mathrm{d}t+\left(\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t$

Avec le théorème de Green-Ostrogradsky on obtient :

$\delta Q = - \left(\iiint_\tau \operatorname{div} \vec\jmath_{Q} \mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t+\left(\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t$

donc :

$\iiint_\tau \rho c \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm{d}t \mathrm{d}\tau = - \iiint_\tau \operatorname{div}\vec\jmath_{Q} \mathrm{d}\tau \mathrm{d}t+\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau \mathrm{d}t$

or ceci est valable pour tout volume $\tau$, donc :

$\operatorname{div} \vec\jmath_{Q} = - \rho c \frac{\partial T}{\partial t} + P$

En utilisant la loi de Fourier :

$\vec\jmath_{Q} = - \lambda \overrightarrow{\operatorname{grad}}T$

et le fait que :

$\operatorname{div}\left(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\right) = \nabla^2 = \Delta$ (laplacien)

on obtient, si la conductivité thermique ne dépend pas des propriétés spatiales :

$-\lambda\Delta T= - \rho c\frac{\partial T}{\partial t} + P \Rightarrow \frac{\rho c}{\lambda}\frac{\partial T}{\partial t}-\Delta T=\frac{P}{\lambda}$

ce qui est bien l'équation de la chaleur.

Enfin, en posant $D = \frac{\lambda}{\rho c}$ (coefficient de diffusion).

$\frac{\partial T}{\partial t}=D\Delta T + \frac{P}{\rho c}$

Autres phénomènes physiques

Il est intéressant de remarquer que l'équation de la chaleur, introduite initialement pour décrire la conduction thermique, apparaît également dans d'autres branches de la physique théorique. Elle permet par exemple de décrire :

• le phénomène de diffusion ;
• certains aspects probabilistes du mouvement brownien ;

Enfin, il existe un lien avec la mécanique quantique non-relativiste : l'équation de Schrödinger apparait en effet comme une équation de la chaleur en temps imaginaire. Loin d'être une simple curiosité, cette propriété autorise des développements intéressants, car il est souvent plus facile mathématiquement de travailler avec l'équation de la chaleur qu'avec l'équation de Schrödinger.

Généralisations

L'équation de la chaleur se généralise naturellement :

• dans $\mathbb R^n$ pour n quelconque ;
• sur une variété riemannienne de dimension quelconque en introduisant l'opérateur de Laplace-Beltrami, qui généralise le Laplacien.

Voir aussi

Articles connexes

• Conduction thermique
• Noyau de la chaleur
• Équations aux dérivées partielles
• Géométrie spectrale

Bibliographie

• Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot Père et Fils (Paris-1822). Réédition Jacques Gabay, 1988 (ISBN 2-87647-046-2)
• Jean Dhombres et Jean-Bernard Robert, Fourier, créateur de la physique mathématique, collection « Un savant, une époque », Belin (1998) (ISBN 2-7011-1213-3)

Liens externes

• La théorie de la chaleur de Fourier appliquée à la température de la Terre, analyse d'un texte de 1827 de Fourier, site bibnum
• Équation de la chaleur, site personnel de Vincent Daniel (ENS)