Équations primitives atmosphériques

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Les équations primitives atmosphériques sont une version simplifiée des équations de Navier-Stokes. Elles sont applicables dans le cas d’un fluide à la surface d’une sphère en posant comme hypothèses que la composante verticale du mouvement est beaucoup plus faible que la composante horizontale et que la couche de fluide est très mince relativement au rayon de la sphère. Ces hypothèses correspondent en général au flux à grande échelle, dite échelle synoptique de l’atmosphère terrestre, et ces équations sont donc appliquées en météorologie et en océanographie. Les modèles numériques de prévision du temps résolvent ces équations ou une variante de celles-ci afin de simuler le comportement futur de l’atmosphère.

D’autre part, les équations primitives appliquées à l’océanographie permettent de simuler le comportement des mers. Réduites à une seule dimension, elles résolvent les équations de Laplace de la marée, un problème de valeurs propres duquel on obtient analytiquement la structure latitudinale de la circulation océanique.

Définitions[modifier | modifier le code]

En général, toutes les formes d’équations primitives relient cinq variables et leur évolution dans le temps[1] :

Elles utilisent également des variables connues :

Formes diverses des équations primitives[modifier | modifier le code]

La représentation des équations primitives dépend des coordonnées verticales utilisées. On peut utiliser la pression, le logarithme de la pression ou des coordonnées dites « sigma » qui sont un rapport entre la pression à un niveau et la pression de surface. De plus, la vitesse, la température et le géopotentiel peuvent être décomposés en leur valeur moyenne et leur valeur de perturbation selon la décomposition de Reynolds.

En coordonnées de pression et cartésiennes[modifier | modifier le code]

Si on utilise la pression comme coordonnées verticale et (x, y) comme coordonnées horizontale tangentielles à la sphère, en négligeant la courbure de la Terre, on obtient une représentation simple des processus physiques en jeu :

  • Le mouvement de l'air ou des mers dans un système en rotation est une balance entre diverses forces : la force de Coriolis, le gradient de pression, la gravité, la force centripète et la friction. Selon le second principe de Newton, on additionne ces forces pour connaître la force totale qui s'exerce sur le fluide :
\frac{d \vec{V}}{dt} = f \vec{V} - (\nabla p/\rho)  - \vec g^*\ + \frac {\vec V^2}{R_c} + F_{r}  \qquad \begin{cases} F_r = Friction \\ \vec g^*=constante\ de\ gravit\acute{e}\ verticale= 9,8 m/s^2 \\R_c = Rayon\ de\ courbure\ du\ flux \end{cases}
Les équations géostrophiques du mouvement (la pression et force de Coriolis s'opposant) s'obtiennent en négligeant la friction et la force centripète. Comme le mouvement est horizontal \vec g^* est nul étant vertical. Ainsi en changeant pour les coordonnées en géopotentiel \phi, on obtient :
\frac{du}{dt} - f v = -\frac{\partial \phi}{\partial x}
\frac{dv}{dt} + f u = -\frac{\partial \phi}{\partial y}
  • L’équation de l'équilibre hydrostatique pour le cas spécial du mouvement vertical dans lequel il n’y a pas d’accélération:
\frac{\partial \phi}{\partial p} = - \frac{R T}{p}
  • L’équation de continuité qui connecte la convergence/divergence de masse horizontale avec le mouvement vertical (aucune création/perte de masse juste changement de niveau) :
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial \omega}{\partial p} = 0
\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} + \omega \left( \frac{\partial T}{\partial p} + \frac{R T}{p c_p} \right) = \frac{J}{c_p}

En ajoutant une équation de composition qui relie le contenu en eau de l'air (ou de sel dans la mer) et sa variation dans l'espace on obtient un ensemble de variables qui décrivent le comportement de l’atmosphère (mer).

En coordonnées sigma et projection polaire stéréographique[modifier | modifier le code]

Si on divise l’atmosphère non pas en pression absolue mais en niveaux ayant un même rapport avec la pression de surface, on parle de coordonnées sigma. Par exemple, si on divise la couche atmosphérique en trois niveaux: surface, niveau ou la pression est la moitié de celle au sol et sommet de l’atmosphère (pression nulle); on aurait sigma = 1, sigma = 0,5 et sigma = 0.

D’autre part, la projection polaire stéréographique[2] peut être représentée à l'aide d'un plan qu’on pose sur un pôle et sur lequel on projette le contour des continents comme si une lumière illuminait le globe depuis le centre de la Terre. On obtient comme résultat une projection cartographique plane. Cette projection peut être considérée comme une vue de la Terre au-dessus du pôle nord. Cette projection convient aux domaines situés au voisinage de la latitude 60 degrés nord. Elle est valide jusqu'au pôle nord mais elle n'est pas recommandée pour des régions proches de l'équateur car les déformations augmentent d'une manière importante dès qu'on s'en approche.

En utilisant ces deux types de coordonnées, on peut simplifier les équations primitives[3] ainsi :

  • Température: \frac {\delta T}{\delta t} =  u \left( \frac{\delta T}{\delta x}\right) + v \left( \frac{\delta T}{\delta y}\right) + w \left( \frac{\delta T}{\delta z}\right)
  • Vent u: \frac{\delta u}{\delta t} = \eta v - \frac {\delta \Phi}{\delta x} - C_p \Theta \left( \frac{\delta \pi}{\delta x}\right) - z \left( \frac{\delta u}{\delta \sigma}\right) - \frac {\delta \frac {\left(u^2 +y \right)}{2}}{\delta y}
  • Vent v: \frac{\delta v}{\delta t} = \eta \left( \frac {u}{v} \right) - \frac {\delta \Phi}{\delta y} - C_p \Theta \left( \frac{\delta \pi}{\delta y}\right) - z \left( \frac{\delta v}{\delta \sigma}\right) - \frac {\delta \frac {\left(u^2 +y \right)}{2}}{\delta y}
  • Contenu en eau: \frac {\delta W}{\delta t} =  u \left( \frac{\delta W_x}{\delta x}\right) + v \left( \frac{\delta W_y}{\delta y}\right) + z \left( \frac{\delta W_z}{\delta z}\right)
  • Épaisseur de pression: \frac {\delta \left ( \frac {\delta p}{\delta sigma} \right )}{\delta t} =  u \left[ \frac{\left (\frac {\delta p}{\delta sigma}\right )_x}{\delta x} \right] + v \left[ \frac{\left (\frac {\delta p}{\delta sigma}\right )_y}{\delta y} \right] + z \left[ \frac{\left (\frac {\delta p}{\delta sigma}\right )_z}{\delta z} \right]
\begin{cases}\Theta: Temp\acute{e}rature\ potentielle\ \\ \Phi: g\acute{e}opotentiel \\ \sigma: niveau\ sigma \end{cases}

Dans ce système de coordonnées, plusieurs variables (telles la température, la température potentielle et le contenu en eau) restent au même niveau sigma et se déplacent avec le vent à ce niveau. Ce dernier est calculé en utilisant la hauteur du géopotentiel, la chaleur spécifique, la fonction d’Exner (\pi) et le changement de niveau sigma.

Solution des équations primitives[modifier | modifier le code]

La solution analytique des équations primitives donnent des ondes sinusoïdales qui varient dans le temps et l’espace. On peut donc la décomposer en harmoniques dont les coefficients sont reliés à la latitude et l’altitude, ce qui donne des ondes et marées atmosphériques.

 \begin{Bmatrix}u, v, \phi \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}\hat u, \hat v, \hat \phi \end{Bmatrix} e^{i(s \lambda + \sigma t)}
 s\ et\ \sigma sont respectivement le nombre d’onde zonal et la fréquence angulaire.

Pour obtenir cette solution, il faut linéariser les équations et en général les simplifier en utilisant des hypothèses souvent irréalistes (pas de dissipation des ondes, atmosphère isothermique, etc.). Dans les applications pratiques de ces équations, la prévision du temps par exemple, on utilise des méthodes d'analyse numérique qui font appel à la division des ondes en valeurs discrètes afin de tenir compte de toutes les variables.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Beniston, Martin. From Turbulence to Climate: Numerical Investigations of the Atmosphere with a Hierarchy of Models. Berlin: Springer, 1998.
  • Firth, Robert. Mesoscale and Microscale Meteorological Model Grid Construction and Accuracy. LSMSA, 2006.
  • Pielke, Roger A. Mesoscale Meteorological Modeling. Orlando: Academic Press, Inc., 1984.
  • U.S. Department of Commerce, National Oceanic and Atmospheric Administration, National Weather Service. National Weather Service Handbook no 1 - Facsimile Products. Washington, DC: Department of Commerce, 1979.
  • Thompson, Philip. Numerical Weather Analysis and Prediction. New York: The Macmillan Company, 1961.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) The problem of Weather Prediction, as seen from the standpoints of Mechanics and Physics par Wilhelm Bjerknes dans le site de NOAA
  2. http://www.windatlas.ca/fr/faq.php#T1Q5 Projection polaire stéréographique dans l’Atlas canadien d’énergie éolienne
  3. National Weather Service Handbook No. 1 - Facsimile Products

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]