Fluide newtonien

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On appelle fluide newtonien (en hommage à Isaac Newton) un fluide dont la loi contraintevitesse de déformation est linéaire[1],[2],[3]. La constante de proportionnalité est appelée viscosité.

Définition[modifier | modifier le code]

Viscosité et cisaillement[modifier | modifier le code]

Courbe de viscosité d’un fondu de polymère.

L’équation décrivant le « comportement newtonien » en description eulérienne est :

\tau=\mu\frac{du}{dy}

où :

\tau est la contrainte de cisaillement exercée par le fluide (à l'origine des forces de traînée), exprimée en Pa ;
\mu est la viscosité du fluide - une constante de proportionnalité caractéristique du matériau, en Pa·s ;
\frac{du}{dy} est le gradient de vitesse perpendiculaire à la direction de cisaillement, en s−1.

En termes usuels, cela signifie que le fluide continue de s’écouler indépendamment des forces extérieures qui agissent sur lui. Par exemple, l’eau est un fluide newtonien parce qu’elle continue d’exhiber les propriétés d’un fluide quelle que soit la vitesse à laquelle elle est agitée. Les solutions aqueuses et les huiles de faibles viscosités, la plupart des solvants, l’air, de nombreux gaz, sont des exemples de fluides newtoniens. Pour un fluide newtonien, la viscosité, par définition, ne dépend que de la température et de la pression (mais elle dépend aussi de la composition chimique du fluide si ce n'est pas un corps pur), non des forces agissant sur l'élément de fluide.

Dans un fluide non-newtonien, la mise en rotation provoque soit l’apparition d’un creux (qui se comble graduellement au fil du temps ; on voit ce comportement dans les crèmes, les suspensions d’amidon et les plastisols PVC, ou, rigueur mise à part, dans les limons), soit une ascension du fluide autour de l’agitateur (phénomène dit « effet Weissenberg ») à cause de la thixotropie, la variation brutale de viscosité se traduisant par une propension accrue à l'écoulement (on observe ce phénomène dans les peintures dites « sans tache », qu'il est facile d'étaler mais qui sont plus visqueuses sur un mur).

Article détaillé : viscosité.

Composante sphérique des contraintes[modifier | modifier le code]

La notion de fluide newtonien ne décrit que les effets de cisaillement dans le fluide. Il importe de comprendre que la seule précision de « newtonien » ne suffit pas à caractériser la loi de comportement du fluide : il faut y ajoindre les effets de compressibilité.

Si le fluide est incompressible et que la viscosité est uniforme dans le fluide, l’équation donnant la loi de comportement, en description eulérienne et en coordonnées cartésiennes, est :

\begin{cases}div \ u = 0\\
 \tau_{ij}=\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)\end{cases}
 .

Naturellement, tous les fluides réels sont plus ou moins compressibles.

Un autre tenseur, \mathbb{P} (aussi noté \mathbf{\sigma}), représentant la contrainte totale, s'exprime en combinant la contrainte de cisaillement avec la pression conventionnelle (thermodynamique) :

\mathbb{P}_{ij}= - p \delta_{ij} + \mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)

où, selon la convention tensorielle :

\tau_{ij} est la contrainte de cisaillement sur la i-ième facette d'un élément de fluide dans la j-ème direction ;
p est la pression thermodynamique ;
u_i est la vitesse dans la i-ième direction ;
x_j est la j-ième direction coordonnée.

Tout fluide ne respectant pas cette loi est dit non newtonien : il existe différents liquides de ce type, notamment les polymères fondus, le sang, les gels, les boues, les pâtes, les suspensions, les émulsions, certaines solutions solides et la plupart des fluides fortement visqueux.

Applications[modifier | modifier le code]

Le modèle du fluide newtonien joue un rôle central en mécanique des fluides, puisqu'hormis le modèle du fluide parfait incompressible, il fournit le modèle le plus simple de comportement fluide. L'hypothèse de fluide newtonien est à la base :

  1. de l’équation de Navier-Stokes;
  2. de la solution de Poiseuille pour l’écoulement laminaire des fluides visqueux.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Armando Lencastre, Hydraulique générale, Eyrolles,‎ 1957 (réimpr. 1983, 1995), 636 p. (ISBN 2-21201894-0), « 4 - Écoulements en régime permanent »
  2. Inge L. Rhyming, Dynamique des fluides, Presses polytechniques romandes,‎ 1957 (réimpr. 1985, 1991), 462 p. (ISBN 2-88074-224-2), « Chapitre 6 - Écoulement des fluides visqueux incompressibles », p. 197
  3. Paul Germain (scientifique), Mécanique des milieux continus, vol. 1 : Théorie générale, Masson & Cie,‎ 1972, 418 p. (ISBN 2-225-35937-4[à vérifier : isbn invalide]), « VI-2. Fluides », p. 125

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Paul Germain, Mécanique des milieux continus, vol. 1 : Théorie générale, Masson & Cie,‎ 1972, 418 p. (ISBN 2-225-35937-4[à vérifier : isbn invalide])
  • J. Lemaitre J.-L. Chaboche, Mécanique des matériaux solides, Paris, Dunod,‎ 1988, 544 p. (ISBN 2-04-018618-2)
  • Inge L. Rhyming, Dynamique des fluides, Presses polytechniques romandes,‎ 1957 (réimpr. 1985,1991), 462 p. (ISBN 2-88074-224-2), « Chapitre 6 - Écoulement des fluides visqueux incompressibles », p. 197
  • E. Guyon, J.-P. Hulin et L. Petit, Hydrodynamique Physique, CNRS Editions,‎ 2001, 673 p.