Loi du zéro un de Kolmogorov

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En probabilités, la loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, appelés événements queues[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C'est-à-dire que la probabilité d'un tel événement vaut 1 ou 0.

Les événements queues se définissent en termes de suites infinies de variables aléatoires. Soit

X_1,X_2,X_3,\dots\,

une suite[2] infinie de variables aléatoires indépendantes. Alors, un événement queue est un événement dont la réalisation est déterminée par la valeur des variables X_i, mais qui est indépendant de toute sous-suite finie de variables X_i.

  • Par exemple, l'événement « la série \sum_{k=1}^\infty X_k converge » est un événement queue.
  • L'événement \sum_{k=1}^\infty X_k > 1 n'est pas un événement queue puisque, par exemple, il n'est pas indépendant de la valeur de X_1.
  • Pour une infinité de lancers d'une pièce à pile ou face, le fait qu'une séquence de 100 « faces » consécutives soit réalisée une infinité de fois, est un événement queue.

Le paradoxe du singe savant est un exemple d'application de la loi du zéro un.

De façon surprenante, il est parfois aisé de prouver grâce à cette loi qu'un événement a une probabilité dans {0,1}, mais très difficile de déterminer laquelle de ces deux valeurs est la bonne.

Démonstration[modifier | modifier le code]

L'indépendance des X_k conduit à celle des tribus U_n = \sigma (X_k ; k<n) et T_n = \sigma (X_k ; k>=n)

Si nous notons T_q la tribu de queue, on a \forall n, T_q \subset T_n ce qui nous assure, pour tout n, l'indépendance de T_q et U_n.

Posons alors U_q, la tribu engendrée par toutes les tribus U_n.

La suite de tribus (U_n)_{n \in \mathbb{N}} est croissante, donc sa limite \bigcup_{n}{U_{n}} est un \pi-système qui engendre U_q. Comme \bigcup_{n}{U_{n}} et T_q sont indépendants, U_q et T_q le sont.

Ainsi, pour tous événements A \in U_q et B \in T_q, on a P(A \cap B) = P(A)P(B).

Or comme T_q \subset U_q , si on prend A = B, on obtient P(A) = P(A)^2

On en conclut que P(A) = 0 ou 1.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. "tail events" en anglais.
  2. les variables X_i n'ont pas forcément la même distribution de probabilité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]