Espace mesurable

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

Un espace mesurable (en théorie de la mesure), également appelé espace probabilisable (en théorie des probabilités), est un couple est un ensemble et une tribu sur . Les éléments de sont alors appelés des ensembles mesurables de .

Un espace mesurable est rarement utilisé seul : le plus souvent, il est complété d'une mesure en vue de construire un espace mesuré .

Cas des probabilités[modifier | modifier le code]

En théorie des probabilités, on utilise une terminologie spécifique. Un espace mesurable est appelé un espace probabilisable, l'ensemble est appelé l'univers et les éléments de la tribu sont appelés événements.

L'espace probabilisable , une fois complété d'une mesure de probabilité (c'est-à-dire une mesure telle que ) forme un espace probabilisé .

Exemples[modifier | modifier le code]

Si un ensemble quelconque :

  • , où est l'ensemble des parties de est un espace mesurable.
  • est un espace mesurable, où est la tribu grossière.

Si est un espace topologique, , où est la tribu de Borel de , est un espace mesurable.

Définitions alternatives[modifier | modifier le code]

Certaines sources relativement anciennes proposent des définitions marginalement différentes : pour Paul Halmos, Measure Theory, Van Nostrand, , p. 73, un espace mesurable est un ensemble muni d'un σ-anneau à unité ; pour Sterling Berberian, Measure and Integration, MacMillan, , p. 35 c'est un ensemble muni d'un σ-anneau (sans condition d'existence d'une unité). Les relations entre les trois définitions sont exposées dans l'ouvrage de S. Berberian, p. 35-36.