Convergence simple

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En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme et le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.

Exemple : les fonctions continues en vert fn(x)=sinn(x) convergent simplement vers la fonction discontinue en rouge.

Convergence simple d'une suite de fonctions[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soient X un ensemble, Y un espace topologique, et (f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions définies sur X et à valeurs dans Y.

  • On dit que la suite (f_n)_{n\in\N} converge simplement si :
    pour tout x \in X, la suite (f_n(x))_{n\in\N} converge dans Y.
  • Si l'application f: X\to Y est telle que
    pour tout x\in X, la suite (f_n(x))_{n\in\N} converge vers f(x),
    on dit que la suite d'applications (f_n)_{n\in\N} converge simplement vers l'application f.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • L'ensemble de départ X n'est pas supposé muni d'une structure topologique.
  • Si l'espace d'arrivée Y est supposé séparé, alors l'éventuelle limite simple d'une suite de fonctions à valeurs dans Y est toujours unique.
  • Si Y est même un espace métrique, c'est-à-dire muni d'une distance d et de la topologie déduite, alors on peut traduire la notion de convergence simple en termes de « epsilon » :
    Une suite (f_n)_n de fonctions converge simplement sur A vers une fonction f si et seulement si :
    \forall x \in A,\forall \epsilon >0, \exists N_{\epsilon,x}, \forall n \in \N, n \ge N_{\epsilon,x} \Rightarrow d(f_n(x),f(x))<\epsilon.

Topologie de la convergence simple[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Topologie produit.

Définition[modifier | modifier le code]

L'ensemble des applications de X dans Y est noté YX. Il existe sur cet ensemble au moins une topologie pour laquelle la convergence des suites de fonctions n'est autre que la convergence simple : la topologie produit, ou topologie de la convergence simple. On peut en décrire une prébase : si l'on note W(x, V), pour tout point x de X et tout ouvert V de Y, l'ensemble des applications f de X dans Y telles que f(x)∈V, alors l'ensemble de tous les W(x, V) forme une prébase de la topologie produit, c'est-à-dire que les ouverts de YX sont les réunions quelconques d'intersections finies de parties de la forme W(x, V).

Remarques[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

La convergence simple est un critère de convergence peu contraignant comme son nom l'indique. Il existe donc moins de propriétés que dans le cas de la convergence uniforme par exemple.

  • La convergence uniforme entraîne clairement la convergence simple. La réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
  • La convergence simple ne conserve pas la continuité, comme le montre le même graphique.
  • Dans le cas où l'ensemble de départ est un espace mesurable et où l'ensemble d'arrivée est le corps des réels alors la convergence simple peut indiquer la convergence pour la norme L_1 avec l'ajout de certaines hypothèses décrites dans les articles Théorème de convergence monotone et Théorème de convergence dominée.
  • Le passage à la limite pour l'intégrale des limites simples a contribué à motiver l'introduction par Henri Lebesgue de sa notion de fonction mesurable. La préservation de l'intégrabilité locale n'est en effet pas vrai au sens de Riemann employé dans le cadre de la théorie de l'intégrale de Riemann.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Alors que l'espace de Cantor et le cube de Hilbert, produits dénombrables, sont métrisables.
  2. Sauf bien sûr si la topologie sur Y est grossière.

Voir aussi[modifier | modifier le code]