Nombre décagonal

En mathématiques, un nombre décagonal est un nombre figuré polygonal qui peut être représenté graphiquement par des points répartis dans un décagone. Le nombre décagonal d'ordre $n$ est donné par la formule ^[1]^,^[2] :

D_{n}=n(4n-3).

.

Les onze premiers nombres décagonaux sont : 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370, 451 (suite A001107 de l'OEIS).

Obtention de ces nombres[modifier | modifier le code]

Avec $n$ points sur chaque côté du polygone extérieur, on ajoute à l'étape $n$ : $10-1$ points sur les sommets et $(10-2)(n-2)$ points à l'intérieur des côtés, d'où $D_{n}-D_{n-1}=9+8(n-2)=8(n-1)+1$ .

Donc $D_{n}=\sum _{k=1}^{n}(8(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(8k+1)=4n(n-1)+n=n(4n-3)$ .

Propriétés[modifier | modifier le code]

$D_{n}$ est la somme du nombre carré d'ordre $n$ et de six fois le nombre triangulaire d'ordre $n$ , autrement dit, $D_{n}=C_{n}+6T_{n-1}=n^{2}+3n(n-1)$ .
$D_{n}$ est la somme du nombre pentagonal d'ordre $n$ et de cinq nombres triangulaires d'ordre $n-1$ : $D_{n}=P_{n}+5T_{n-1}={\frac {n(3n-1)}{2}}+{\frac {5n(n-1)}{2}}$ .

$D_{n}=n+8T_{n-1}=n+4n(n-1)$ est congru à $n$ modulo 8 et a donc même parité que lui.

D'après le théorème des nombres polygonaux de Fermat, tout entier naturel est la somme d'au plus 10 nombres décagonaux.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Decagonal number » (voir la liste des auteurs).
(en) Eric W. Weisstein, « Decagonal Number », sur MathWorld

↑ (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, n^o 1,‎ 2002, p. 66 (lire en ligne)

↑ (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 6

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Arithmétique et théorie des nombres

[1]

[2]