Heptadécagone

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Un heptadécagone est un polygone à 17 sommets, donc 17 côtés et 119 diagonales.

La somme des angles internes d'un heptadécagone non croisé vaut $15π$ radians, soit 2 700 degrés.

Dans l'heptadécagone régulier convexe, chaque angle interne vaut donc $15π/17 rad$ , soit environ 158,82°.

Heptadécagones réguliers

Un heptadécagone régulier est un heptadécagone dont les 17 côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a huit : sept étoilés (les heptadécagrammes notés {17/k} pour k de 2 à 8) et un convexe (noté {17}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'heptadécagone régulier ».

Les sept heptadécagones réguliers étoilés
{17/2}
{17/3}
{17/4}
{17/5}
{17/6}
{17/7}
{17/8}

Construction à la règle et au compas

L'annonce de la construction à la règle et au compas de l'heptadécagone régulier a été faite par Carl Friedrich Gauss en 1796, et seulement dans un court article, Neue Entdeckungen, paru au numéro 66, du 1^er juin 1796, de l'Intelligenzblatt der Allgemeinen Literatur-Zeitung de Iéna. Il fallut attendre cinq ans encore, avec la publication de ses Disquisitiones arithmeticae, pour découvrir la substance de cette construction (à l'article « Theorie von grösserem Umfange », en fin d'ouvrage).

Le sinus et le cosinus de l'angle

{\frac {\pi }{17}}

sont respectivement égaux à :

$\sin {\frac {\pi }{17}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-{\sqrt {2(15+{\sqrt {17}}-{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}+{\sqrt {2(34+6{\sqrt {17}}+{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}-{\sqrt {34(17-{\sqrt {17}})}}+8{\sqrt {2(17+{\sqrt {17}})}})}})}}}}$ ;
$\cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {1-{\sqrt {17}}}{16}}+{\frac {\sqrt {17-{\sqrt {17}}}}{8{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}+{\frac {1-{\sqrt {17}}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {17-{\sqrt {17}}}}+4{\sqrt {2}}{\sqrt {17+{\sqrt {17}}}}}}$ .