Catégorie des groupes

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En mathématiques, la catégorie des groupes est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes.

Définition[modifier | modifier le code]

La catégorie des groupes[modifier | modifier le code]

La catégorie des groupes, notée Grp, est définie de la manière suivante :

C'est donc une sous-catégorie de la catégorie des ensembles.

La 2-catégorie des groupes[modifier | modifier le code]

En théorie des catégories d'ordre supérieur (en) il est parfois pratique de voir les groupes comme des groupoïdes possédant un unique objet. On dispose alors d'une nouvelle définition : la 2-catégorie (en) des groupes Grp est la sous-2-catégorie pleine de la catégorie des groupoïdes formée ainsi :

La catégorie des groupes sur une catégorie[modifier | modifier le code]

Si K est une catégorie quelconque, on définit la catégorie GrpK des groupes sur K ainsi :

  • Les objets sont les objets groupes (en) dans K, c'est-à-dire les objets G tels que, pour tout objet X, il existe une structure de groupe sur \mathrm{Hom}_K(X, G) telle que X \mapsto \mathrm{Hom}_K(X, G) est un foncteur contravariant K \to \mathrm{Grp} ;
  • Les morphismes sont les homomorphismes entre objets groupes.

Dans ce cadre, la catégorie des groupes topologiques s'identifie à la catégorie des groupes sur Top, la catégorie des groupes de Lie à la catégorie des groupes sur la catégorie des variétés lisses et la catégorie des faisceaux de groupes sur un espace X s'identifie à la catégorie des groupes sur la catégorie des faisceaux d'ensembles sur X.

Groupes, monoïdes et ensembles[modifier | modifier le code]

Tout groupe est en particulier un monoïde, on dispose donc naturellement d'un foncteur d'oubli :

M : \mathrm{Grp} \to \mathrm{Mon}

Ce foncteur apparaît dans un triplet d'adjonction K \dashv M \dashv I où :

On peut encore « oublier » la structure de monoïde, pour ne plus voir au final que les éléments d'un groupe comme formant un ensemble. Cela correspond à un foncteur d'oubli

S : \mathrm{Mon} \to \mathrm{Set}

auquel est naturellement adjoint le foncteur libre F, c'est-à-dire le foncteur qui à un ensemble associe le monoïde librement engendré par ses éléments. On a

F \dashv S

En effectuant ces deux opérations d'oubli, on a donc un foncteur d'oubli

MS : \mathrm{Grp} \to \mathrm{Mon} \to \mathrm{Set}

dans la catégorie des ensembles. qui est adjoint à droite du foncteur libre

KF : \mathrm{Set} \to \mathrm{Mon} \to \mathrm{Grp}

Propriétés de la catégorie des groupes[modifier | modifier le code]

Propriétés catégoriques[modifier | modifier le code]

Objets[modifier | modifier le code]

Morphismes[modifier | modifier le code]

Limites[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]