Catégorie des anneaux

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En mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire[1].

Définition[modifier | modifier le code]

Catégorie des anneaux[modifier | modifier le code]

La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi :

Catégorie des anneaux commutatifs[modifier | modifier le code]

La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing. Il s'agit d'une sous-catégorie réflexive (en) : en effet, tout anneau peut être rendu commutatif en prenant son quotient par l'idéal engendré par les éléments de la forme ab - ba. Cette opération définit un foncteur

\mathrm{Ring} \to \mathrm{CRing}

qui est adjoint à gauche au foncteur d'inclusion

\mathrm{CRing} \hookrightarrow \mathrm{Ring}

La catégorie CRing est close par limites (mais pas par les colimites).

En géométrie algébrique, un résultat fondamental est qu'il y a une équivalence de catégories entre la catégorie opposée à CRing et la catégorie Aff des schémas affines, qui correspond au foncteur Spec :

\mathrm{Spec} : \mathrm{Aff} \to \mathrm{CRing}.

Adjonctions[modifier | modifier le code]

Un anneau est un monoïde dans la catégorie des groupes abéliens. On peut définir de manière naturelle les foncteurs d'oubli

A : \mathrm{Ring} \to \mathrm{Ab} (oubli de la structure multiplicative)
M : \mathrm{Ring} \to \mathrm{Mon} (oubli de la structure additive)

Le foncteur A admet un adjoint à gauche qui associe à tout groupe abélien G l'anneau tensoriel T(G)[2]. Le foncteur M admet un adjoint à gauche qui à tout monoïde N associe l'anneau de monoïde \mathbb Z [N].

En oubliant simultanément les deux structures, on obtient le foncteur d'oubli

U : \mathrm{Ring} \to \mathrm{Set}

dans la catégorie des ensembles. Ce foncteur admet un adjoint à gauche F qui à tout ensemble associe l'anneau librement engendré par les éléments de cet ensemble.

Propriétés de la catégorie des anneaux[modifier | modifier le code]

Propriétés catégoriques[modifier | modifier le code]

Objets[modifier | modifier le code]

Morphismes[modifier | modifier le code]

  • Les isomorphismes de Ring sont les morphismes d'anneaux bijectifs ;
  • Les monomorphismes de Ring sont les morphismes d'anneau injectifs ;
  • Les épimorphismes réguliers correspondent aux épimorphismes extrémaux, qui sont dans Ring les morphismes d'anneaux surjectifs. Tout morphisme d'anneaux surjectif est donc un épimorphisme, mais la réciproque n'est pas vraie[5] ;
  • Les bimorphismes de Ring sont les épimorphismes injectifs, et ne coïncident donc pas avec les isomorphismes[6] ;

Limites[modifier | modifier le code]

  • Les foncteurs d'oubli vers Ab, Mon ou Set créent et préservent les limites et les colimites filtrées (mais pas les coproduits ou coégaliseurs en général)
  • Le produit dans Ring est le produit d'anneaux ;
  • Le coproduit dans Ring est le produit libre d'anneaux ;
  • L'égaliseur correspond à l'égaliseur dans la catégorie des ensembles ;
  • Le coégaliseur de deux morphismes d'anneaux f, g : R → S est le quotient R/II est l'idéal engendré par les éléments de la forme f(r) - g(r), où r est un élément de R.
  • La limite projective dans Ring des anneaux d'entiers modulo p^n correspond à l'anneau des nombres p-adiques

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. On peut définir une notion de catégorie des pseudo-anneaux, parfois notée Rng, le « i » manquant indiquant que l'on considère les anneaux qui n'ont pas nécessairement d'identité. Cependant, ses propriétés sont assez différentes de la catégorie Ring définie dans cet article.
  2. Ici, G est vu comme \mathbb Z-module.
  3. Tous les objets initiaux sont isomorphes à \mathbb Z, on parle donc de « l'objet initial ».
  4. Les objets injectifs et terminaux de Ring sont des anneaux contenant un unique élément, donc sont isomorphes à l'anneau dont l'unique élément est 1 = 0. En vertu de cet isomorphisme, on parle de « l'objet injectif » et de « l'objet terminal » de Ring.
  5. Par exemple, l'injection \mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Q est un épimorphisme non surjectif.
  6. Par exemple, l'injection \mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Q est un bimorphisme, mais pas un isomorphisme.

Références[modifier | modifier le code]