Catégorie des ensembles

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En mathématiques, il n'existe pas d'« ensemble de tous les ensembles », car l'existence d'un tel objet résulterait en une contradiction logique : le paradoxe de Russell. Cependant, on peut définir rigoureusement une catégorie, dont les objets sont les ensembles, et dont les morphismes sont les fonctions d'un ensemble dans un autre. Elle est appelée catégorie des ensembles et notée Set ou Ens.

La catégorie des ensembles illustre de nombreuses constructions usuelles (produit cartésien, produit fibré, réunion disjointeetc.) en théorie des catégories, et de nombreuses catégories, dites « concrètes », en sont des restrictions : catégories des groupes, des anneaux, etc. Elle constitue également l'archétype d'un topos – ou alternativement, un topos peut se voir comme représentant une certaine théorie des ensembles.

Définition[modifier | modifier le code]

Problèmes de fondation[modifier | modifier le code]

Il n'y a pas en mathématiques d'« ensemble de tous les ensembles ». La théorie des ensembles habituellement considérée est la théorie de Zermelo-Fraenkel (éventuellement complétée de l'axiome du choix), et l'axiome de fondation fait de la collection de tous les ensembles une classe propre. Dans ZF ou ZFC, la notion de classe propre n'est pas formalisée, et cela pose problème pour donner un sens rigoureux à la catégorie des ensembles.

Il existe de nombreuses manières de résoudre cette situation. L'une d'entre elles est de travailler dans une théorie des ensembles qui formalise les classes, telles que la théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel qui présente l'avantage de pouvoir être décrite avec un nombre fini d'axiomes, tout en étant essentiellement équivalente à ZFC. Une autre approche consiste à éviter les classes en travaillant dans un univers de Grothendieck (en) fixé[1].

D'autres questions se posent dans la catégorie des ensembles, qui en font un objet d'étude intéressant en logique mathématique.

Catégorie des ensembles[modifier | modifier le code]

La catégorie des ensembles est la catégorie ayant :

  • pour objets la collection de tous les ensembles ;
  • si A et B sont deux ensembles, \operatorname{Hom}(A,B) est la collection des fonctions de A dans B qui est un ensemble. La composition de morphismes correspond à la composition de fonctions usuelle.

Propriétés de la catégorie des ensembles[modifier | modifier le code]

Propriétés catégoriques[modifier | modifier le code]

Objets[modifier | modifier le code]

Morphismes[modifier | modifier le code]

Limites[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Dans ce cas, on se donne un univers U et on définit plutôt la catégorie SetU. Si l'approche en termes d'univers permet de contourner le souci de fondation, elle présente le désavantage technique de ne pas pouvoir parler, en toute généralité, de « la » catégorie des ensembles.
  2. Dès lors qu'on autorise l'imprédicativité. Sinon, c'est en tout cas un prétopos.
  3. Tout singleton est un objet final, mais puisqu'ils sont trivialement isomorphes deux à deux, on parle « du » singleton. On le note parfois \{ \star \}.
  4. Un objet zéro est à la fois initial et final, un tel objet n'existe pas car l'ensemble vide est le seul ensemble ne contenant aucun élément.
  5. De même que pour l'ensemble à un seul élément, on parle « du » classificateur de sous-objet, puisque tous les ensembles à deux éléments sont isomorphes deux à deux.
  6. On peut poser comme axiome qu'un tel objet est également projectif. C'est une version faible de l'axiome du choix, qui l'implique.

Références[modifier | modifier le code]