Catégorie monoïdale

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En mathématiques, une catégorie monoïdale est une catégorie munie d'un bifoncteur qui généralise la notion de produit tensoriel de deux structures algébriques. Intuitivement, il s'agit de l'analogue, au niveau des catégories, de la notion de monoïde, c'est-à-dire que le bifoncteur joue le rôle d'une sorte de multiplication pour les objets de la catégorie.

Définition[modifier | modifier le code]

Une catégorie monoïdale est une catégorie \mathcal{C} munie :

  • D'un bifoncteur \otimes : \mathcal{C} \times \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C} appelé produit tensoriel.
  • D'un objet I appartenant à \mathcal{C} appelé objet unité.
  • D'une transformation naturelle \alpha appelée associateur telle que pour tous objets A,B et C, \alpha_{A,B,C} soit un isomorphisme de (A \otimes B) \otimes C vers A\otimes(B \otimes C). Autrement dit, \alpha est un isomorphisme naturel du foncteur (-\otimes -) \otimes - vers le foncteur -\otimes (- \otimes -).
  • De deux transformations naturelles \lambda,\rho telles que pour tout objet A, \lambda et \rho induisent des isomorphismes  \lambda_A: I \otimes A \longrightarrow A et \rho_A: A \otimes I \longrightarrow A.

Les conditions de cohérence pour ces transformations naturelles s'expriment par la commutativité des diagrammes suivants.

Monoidal category pentagon.svg Monoidal category triangle.svg

Exemples[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]