Morphisme

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En mathématiques, un morphisme ou homomorphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure, qui respecte cette structure. Cette notion de morphismes est fondamentale en mathématique. Elle permet de comparer et de relier les objets mathématiques entre eux.

La notion de morphisme est un des concepts de base de la théorie des catégories, où on lui donne un sens bien plus large. Ainsi, un morphisme n'est pas forcément une application, c'est juste une flèche reliant deux objets qui ne sont pas forcément des ensembles : la flèche peut relier deux structures d'une même espèce, par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels.

Les morphismes ont des applications particulièrement importantes en physique moderne, en particulier la mécanique quantique.

Définitions[modifier | modifier le code]

Cas général (théorie des modèles)[modifier | modifier le code]

Soient \mathcal M et \mathcal N deux \mathcal L- structures d'ensembles respectifs M et N.
m une application de M dans N.
m est un morphisme si et seulement si :

  • Pour toute constante c \in \mathcal L on a m(c^{\mathcal M})=c^{\mathcal N}
  • Pour toute fonction n-aire f \in \mathcal L et pour tout (a_i)_i \in M^n on a m(f^{\mathcal M}(a_i)_i )=f^{\mathcal N}(m(a_i))_i
  • Pour toute relation n-aire R \in \mathcal L et pour tout (a_i)_i  \in M^n, si (a_i)_i \in R^{\mathcal M} alors (m(a_i))_i  \in R^{\mathcal N}

Avec c^{\mathcal N} désignant le symbole c dans la structure \mathcal N.

Cas des groupes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Morphisme de groupes.

Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application f : (G, *) \longrightarrow (G', \star)\,, entre deux groupes (G, *)\, et (G', \star)\,, qui vérifie :

  • \forall (g,h) \in G^2,~ f(g * h) = f(g) \star f(h).

Cas des anneaux[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Morphisme d'anneaux.

Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application f:A\to B entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions :

  • \forall a, b \in A,~ f(a +_A b) = f(a) +_B f(b),
  • \forall a, b \in A,~ f(a *_A b) = f(a) *_B f(b),
  • f\left(1_A\right)=1_{B},

dans lesquelles +_A, *_A et 1_A (respectivement +_B, *_B et 1_B) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux A et B.

Cas des espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Application linéaire.

Dans la catégorie des espaces vectoriels (en) sur un corps K fixé, un morphisme est une application f:E\to F, entre deux K-espaces vectoriels (E,+,.) et (F,\dot{+},.), qui est linéaire c'est-à-dire qui vérifie :

  • f est un morphisme de groupes de (E,+) dans (F,\dot{+}),
  • \forall x\in E ,~ \forall \lambda\in K,~  f(\lambda . x ) = \lambda . f(x),

ce qui est équivalent à :

\forall (x,y)\in E \times E ,~ \forall \lambda \in K,~ f(\lambda . x + y) = \lambda . f(x) \dot{+} f(y).

Cas des algèbres[modifier | modifier le code]

Dans le cas de deux K-algèbres unifères (A, +, \times, .) et (B, \dot{+}, \dot{\times}, .), un morphisme vérifie :

  • f est une application linéaire de A dans B,
  • f est un morphisme d’anneaux ;

ce qui est équivalent à :

  • f(1_A)=1_B,
  • \forall (x,y)\in A^2,~\forall (\lambda,\mu) \in K^2,~ f(\lambda .x + \mu .y)  = \lambda .f(x) \dot{+} \mu .f(y),
  • \forall (x,y)\in A^2,~ f(x\times y) = f(x)\dot{\times} f(y).

Cas des ensembles ordonnés[modifier | modifier le code]

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés est une application croissante (une application qui préserve l'ordre) :

Si ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) sont des ensembles ordonnés et f est une application de A dans B, f est un morphisme si pour tout x et y dans A tels que xy, on a f(x) ≼ f(y).

En théorie des ordres, on dit souvent fonction monotone au lieu de fonction croissante ou décroissante.

Cas des espaces topologiques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Application continue.

Dans la catégorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme » n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.

Classement[modifier | modifier le code]

  • un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
  • un isomorphisme est un morphisme f entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme f' dans le sens inverse, tels que f\circ f' et f'\circ f sont les identités des structures ;
  • un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
  • un épimorphisme (ou morphisme épique) est un morphisme f : A\to B tel que : pour tout couple g,h de morphismes de type B\to E (et donc aussi pour tout E), si g\circ f=h\circ f, alors g = h ;
  • un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme f : A\to B tel que : pour tout couple g,h de morphismes de type E\to A (et donc aussi pour tout E), si f\circ g=f\circ h, alors g = h.

Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.

Voir aussi[modifier | modifier le code]