Morphisme

En mathématiques, un morphisme ou homomorphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure, qui respecte cette structure. Cette notion de morphismes est fondamentale en mathématique. Elle permet de comparer et de relier les objets mathématiques entre eux.

La notion de morphisme est un des concepts de base de la théorie des catégories, où on lui donne un sens bien plus large. Ainsi, un morphisme n'est pas forcément une application, c'est juste une flèche reliant deux objets qui ne sont pas forcément des ensembles : la flèche peut relier deux structures d'une même espèce, par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels.

Les morphismes ont des applications particulièrement importantes en physique moderne, en particulier la mécanique quantique.

Définitions

Cas des groupes

Article détaillé : Morphisme de groupes.

Si on est dans le cas de deux groupes $(G, *)\,$ et $(G', \star)\,$, cette définition se précise de la façon suivante : un morphisme $f : (G, *) \longrightarrow (G', \star)\,$ vérifie :

• $\forall (g,h) \in G^2,~ f(g * h) = f(g) \star f(h)\,$

Cas des anneaux

Article détaillé : Morphisme d'anneaux.

Soient deux anneaux (unitaires) $A$ et $B$, leurs opérations et neutre multiplicatif respectifs étant notés $+_A$, $*_A$ et $1_A$ (respectivement $+_B$, $*_B$ et $1_B$). Un morphisme $f$ de $A$ vers $B$ est une application qui vérifie les trois conditions :

• $\forall a, b \in A,~ f(a +_A b) = f(a) +_B f(b)$ ;
• $\forall a, b \in A,~ f(a *_A b) = f(a) *_B f(b)$ ;
• $f\left(1_A\right)=1_{B}$.

Cas des espaces vectoriels

Dans le cas de deux $K$-espaces vectoriels $(E,+,.)$ et $(F,\dot{+},.)$ , un morphisme vérifie :

• $f$ est un morphisme de groupes pour $(E,+)$ et $(F,\dot{+})$
• $\forall x\in E ,~ \forall \lambda\in K,~ f(\lambda . x ) = \lambda . f(x)$

Ce qui est équivalent à :

$\forall (x,y)\in E \times E ,~ \forall \lambda \in K,~ f(\lambda . x + y) = \lambda . f(x) \dot{+} f(y)$

On parle alors d'application linéaire.

Cas des algèbres

Dans le cas de deux $K$-algèbres unifères $(A, +, \times, .)$ et $(B, \dot{+}, \dot{\times}, .)$, un morphisme vérifie :

• $f$ est une application linéaire de $A$ dans $B$,
• $f$ est un morphisme d’anneaux ;

ce qui est équivalent à :

• $f(1_A)=1_B$,
• $\forall (x,y)\in A^2,~\forall (\lambda,\mu) \in K^2,~ f(\lambda .x + \mu .y) = \lambda .f(x) \dot{+} \mu .f(y)$,
• $\forall (x,y)\in A^2,~ f(x\times y) = f(x)\dot{\times} f(y)$.

Cas des ensembles ordonnés

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés est une application croissante (une application qui préserve l'ordre) :

Si ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) sont des ensembles ordonnés et f est une application de A dans B, f est un morphisme si pour tout x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y).

En théorie des ordres, on dit souvent fonction monotone au lieu de fonction croissante ou décroissante.

Cas des espaces topologiques

Un morphisme entre deux espaces topologiques est tout simplement une application continue. Dans le cadre topologique, le mot morphisme n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.

Classement

• un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
• un isomorphisme est un morphisme $f$ entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme $f'$ dans le sens inverse, tels que $f\circ f'$ et $f'\circ f$ sont les identités des structures ;
• un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
• un épimorphisme (ou morphisme épique) est un morphisme $f : A\to B$ tel que : pour tout couple $g,h$ de morphismes de type $B\to E$ (et donc aussi pour tout $E$), si $g\circ f=h\circ f$, alors $g = h$ ;
• un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme $f : A\to B$ tel que : pour tout couple $g,h$ de morphismes de type $E\to A$ (et donc aussi pour tout $E$), si $f\circ g=f\circ h$, alors $g = h$.

Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.

Ensembles isomorphes

On dit que les ensembles $E$ et $F$, munis du même type de structure algébrique, sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de $E$ sur $F$.

Savoir que deux ensembles avec leur structure algébrique sont isomorphes présente un grand intérêt car cela permet de transposer des résultats et propriétés démontrés de l'un à l'autre.

Exemple : le groupe de Klein est isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ.

Voir aussi

• Homéomorphisme : isomorphisme d'espace topologique, i.e. application continue bijective et d'inverse continue
• Difféomorphisme : isomorphisme de variété différentielle, i.e. application à différentielle continue bijective et d'inverse à différentielle continue
• Cryptomorphisme
• Morphisme de graphes