Produit direct

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La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, on peut appeler produit direct un produit qui commute avec le foncteur d'oubli[réf. souhaitée]. C'est la cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques.

Produit direct de deux magmas[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne T et F un ensemble muni d'une loi de composition interne \star. On peut définir une loi de composition interne * sur le produit cartésien E×F de la façon suivante :

(x,y) * (x',y') = (x\ T\ x', y \star y').

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si T et \star sont associatives, alors la loi * est associative.
  • Si T et \star sont commutatives, alors la loi * est commutative.
  • Si T admet un élément neutre e et si \star admet un élément neutre f, alors (e,f) est neutre pour *.
  • Si x admet un symétrique x' pour T et si y admet un symétrique y' pour \star, alors (x, y) admet (x', y') comme symétrique.

Produit direct de magmas[modifier | modifier le code]

Soit (Ei)iI une famille d'ensembles, chaque Ei étant muni d'une loi de composition interne \star_i. On peut définir une loi de composition interne * sur le produit cartésien ∏iI Ei de la façon suivante :

(x_i)_{i\in I} * (x'_i)_{i\in I} = (x_i\star_i x'_i)_{i\in I}

Cette construction est valable que I soit un ensemble fini ou infini.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si chaque loi \star_i est associative, la loi * est associative.
  • Si chaque loi \star_i est commutative, la loi * est commutative.
  • Si chaque loi \star_i possède un élément neutre ei (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche), la famille (ei)iI est neutre (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche) pour *.
  • Si chaque loi \star_i possède un élément neutre et si dans chaque Ei, un élément quelconque xi possède un symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche) yi, alors la famille (xi)iI admet la famille (yi)iI comme symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche).

En particulier, le produit direct d'une famille de groupes est un groupe.

Article détaillé : produit direct (groupes).

Produit direct d'anneaux[modifier | modifier le code]

Soit (Ei)iI une famille d'ensembles, chaque Ei étant muni de deux lois +_i et *_i. On peut comme précédemment définir une loi +, produit direct des +_i et une loi *, produit direct des lois *_i.

Si chaque loi *_i est distributive par rapport à la loi +_i, alors la loi * est distributive par rapport à la loi +.

En particulier, si chaque Ei est muni d'une structure d'anneau, on construit ainsi un anneau produit direct.

Attention : Le produit direct de deux anneaux non nuls (ou plus) n'est jamais intègre. En effet (0,a)\ *\ (a,0)=(0,0). Dans beaucoup de cas, par exemple pour construire le corps des nombres complexes, ou le corps des fractions, on utilisera un procédé plus subtil.

Produit direct d'espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Soit une famille (Ei)iI d'espaces vectoriels sur un même corps K. Les lois suivantes font du produit cartésien ∏iI Ei un K-espace vectoriel, appelé produit de la famille (Ei)iI[1]  :

(u_i)_{i\in I}+(v_i)_{i\in I}=(u_i+v_i)_{i\in I},\quad\lambda(u_i)_{i\in I}=(\lambda u_i)_{i\in I}.

Le vecteur nul est la famille (0)iI formée par les vecteurs nuls des espaces Ei.

Lorsque tous les Ei sont égaux à un même K-espace vectoriel E (par exemple à K, vu comme K-droite vectorielle), ∏iI Ei est l'espace vectoriel EI des applications de I dans E[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, chap. II, section 5 pour les produits infinis et p. A-II-10 pour les produits directs de modules.
  2. Roger Godement, Cours d'algèbre, 1966, Exemple 4, p. 166-167.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Somme directe