Équivalence de catégories

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Une équivalence de catégories est un foncteur entre deux catégories, qui prend compte formellement du fait que ces catégories rendent compte d'une même structure : on dit alors que les catégories sont équivalentes. À la différence de la notion d'isomorphisme de catégories (en), la notion d'équivalence est moins rigide, plus pratique et plus courante.

La notion d'équivalence de catégories rend compte, de manière unifiée, de nombreuses dualités observées dans plusieurs pans de l'algèbre et de l'analyse.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient C et D des catégories. Une équivalence de catégorie est la donnée de deux foncteurs

F : C \to D
G : D \to C

tels que l'on a les isomorphismes naturels

F \circ G \cong \mathsf{id}_D
G \circ F \cong \mathsf{id}_C

C'est-à-dire que les foncteurs sont isomorphes dans la catégorie de foncteurs correspondante.

En réalité, on peut savoir qu'un foncteur F fait partie d'une équivalence de catégories lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

C'est le plus souvent la méthode employée pour révéler une équivalence de catégorie, sans toutefois avoir à (ou pouvoir) exhiber le pseudo-inverse G ou les transformations naturelles correspondantes.

De manière similaire, deux catégories sont équivalentes si et seulement si leurs squelettes (en) sont isomorphes.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Une équivalence de catégorie indique que de nombreuses propriétés se conservent d'une catégorie à l'autre au travers du foncteur d'équivalence. En particulier, mais pas exclusivement : les objets initiaux et terminaux, les mono-, épi- et isomorphismes, les limites et colimites, égalisateurs, produits

En particulier, un foncteur qui réalise une équivalence de catégories est exact.

Exemples[modifier | modifier le code]

Référence[modifier | modifier le code]