Catégorie des modules

En mathématiques, la catégorie des modules sur un monoïde R est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées dans l'étude des modules sur un anneau, en les généralisant. L'étude de catégories de modules apparaît naturellement en théorie des représentations et en géométrie algébrique.

Puisqu'un R-module est un espace vectoriel lorsque R est un corps commutatif, on peut dans un tel cas identifier la catégorie des modules sur R à la catégorie des espaces vectoriels (en) sur le corps R. D'autre part, tout groupe abélien a une structure naturelle de $\mathbb {Z}$ -module, ce qui permet d'identifier la catégorie des modules sur $\mathbb {Z}$ à la catégorie des groupes abéliens.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit C une catégorie monoïdale et R un monoïde de C. La catégorie des modules sur R, notée R-Mod, est la catégorie définie ainsi :

Les objets sont les R-modules^[1] dans C, c'est-à-dire les couples (A, M) avec A un anneau commutatif et M un A-module ;
Les morphismes sont les homomorphismes de modules, c'est-à-dire les couples (ϕ, μ) constitués d'un morphisme d'anneaux ϕ : A → B et d'un morphisme de A-modules $\mu :M\to A\otimes _{\phi }M$ . La composition est la composition usuelle de fonctions, et l'identité est la fonction identité.

On peut munir les hom-set de R-Mod d'une structure de groupe abélien. En effet, si M, N sont deux objets, et si $f_{1},f_{2}\in \mathrm {Hom} _{R{\text{-}}\mathrm {Mod} }(M,N)$ , on peut définir

(f_{1}+f_{2}):m\mapsto f_{1}(m)+f_{2}(m)

et la composition de morphismes est donnée par le produit tensoriel issu de la catégorie Ab des groupes abéliens :

\mathrm {Hom} _{R{\text{-}}\mathrm {Mod} }(A,B)\otimes \mathrm {Hom} _{R{\text{-}}\mathrm {Mod} }(B,C)\to \mathrm {Hom} _{R{\text{-}}\mathrm {Mod} }(A,C)

ce qui en fait une catégorie Ab-enrichie (donc préadditive). En étendant cette structure à celle d'un R-module, le produit tensoriel de modules permet de doter R-Mod d'une structure de catégorie monoïdale, avec R pour unité. Elle possède en outre un foncteur Hom interne donné par ce produit tensoriel, qui en fait une catégorie monoïdale fermée.

Propriétés de la catégorie des modules[modifier | modifier le code]

Propriétés catégoriques[modifier | modifier le code]

La catégorie R-Mod est préadditive (en), additive et abélienne ;
La catégorie R-Mod est monoïdale fermée ;
R-Mod admet tous les produits et coproduits ;
R-Mod admet tous les noyaux et conoyaux ;
R-Mod est une catégorie de Grothendieck (en) ;
R-Mod est une bifibration sur R, donnée par le foncteur de projection canonique $R{\text{-}}\mathrm {Mod} \to \mathrm {CRing}$ ;

Objets[modifier | modifier le code]

L'objet initial, final et zéro^[2] de R-Mod est le R-module trivial $\{0\}$ ;

Morphismes[modifier | modifier le code]

Les monomorphismes sont les morphismes injectifs. De plus, tout monomorphisme est le noyau de son conoyau ;
Les épimorphismes sont les morphismes surjectifs. De plus, tout épimorphisme est le conoyau de son noyau ;

Limites[modifier | modifier le code]

Le produit est le produit direct de modules ;
Le coproduit est la somme directe de modules ;

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Par convention, on considère en général les R-modules à gauche.
↑ Ces objets sont uniques à isomorphismes près.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
(en) Rankeya Datta, « The category of modules over a commutative ring and abelian categories »
(en) Andy Kiersz, « Colimits and homological algebra »
(en) « Mod », sur nLab

Portail des mathématiques

[1] Par convention, on considère en général les R-modules à gauche.

[2] Ces objets sont uniques à isomorphismes près.

[1]

[2]

v · m Théorie des catégories Abstract nonsense
Catégories	abélienne préabélienne pseudo-abélienne (en) additive préadditive (en) cartésienne complète concrète dérivée discrète duale exacte fermée fibrée (en) monoïdale monoïdale tressée *-autonome simpliciale triangulée
Catégories usuelles	Cat Rel Set Ord (en) Mon Grp Ab Ring k-Mod Top k-Vect (en) hTop (en) Met (en) Sch
Objets	Groupe (en) Groupoïde Monoïde initial/final injectif (en) exponentiel projectif Sous-objet (en)
Morphismes	Automorphisme Épimorphisme Endomorphisme Isomorphisme Monomorphisme morphisme nul Section
Foncteurs	Catégorie de foncteurs Distributeur Équivalence de catégories Isomorphisme de catégories Foncteur adjoint dérivé exact Ext Hom représentable d'oubli plein et fidèle Préfaisceau Transformation naturelle
Adjonctions	Adjonction ⊗-Hom Catégorie de Kleisli Monade
Limites	Égaliseur Extension de Kan Fin Limite inductive Limite projective Noyau Produit Produit fibré Réunion disjointe Somme Somme amalgamée
Opérations	Enveloppe de Karoubi Nerf Squelette Symétrisation
Outils	Diagramme Diagramme commutatif Équivalence de Morita Lemme des cinq Lemme du serpent Lemme de Yoneda Propriété universelle
Extensions et catégories supérieures	Catégorie enrichie 2-catégorie n-catégorie (en) Quasi-catégorie Site Topos