Foncteur

En mathématiques, le foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de morphisme.

Définitions

Un foncteur (ou foncteur covariant) $F : \mathcal C\to\mathcal D$ d'une catégorie $\mathcal C$ dans une catégorie $\mathcal D$ est la donnée

• d'une fonction qui, à tout objet $A$ de $\mathcal C$, associe un objet $\displaystyle F(A)$ de $\mathcal D$,
• d'une fonction qui, à tout morphisme $f : A \to B$ de $\mathcal C$, associe un morphisme $F(f) : F(A)\rightarrow F(B)$ de $\mathcal D$,

qui

• respectent les identités : pour tout objet $A$ de $\mathcal C$,

$\displaystyle F(\mathrm{Id}_A)=\mathrm {Id}_{F(A)}$,

• respectent la composition : pour tous objets $A$, $B$ et $C$ et morphismes $f : A \to B$ et $g : B \to C$ de $\mathcal C$,

$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$.

Un foncteur contravariant G d'une catégorie $\mathcal C$ dans une catégorie $\mathcal D$ est un foncteur covariant de la catégorie opposée $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ dans $\mathcal D$ (à tout morphisme $f : A \to B$ de $\mathcal C$ il associe donc un morphisme $G(f) : G(B)\to G(A)$ de $\mathcal D$, et on a la « relation de compatibilité » $G(g\circ f)=G(f)\circ G(g)$).

On voit immédiatement que l'image d'un isomorphisme par un foncteur est un isomorphisme.

Foncteurs adjoints

Soient $C$ et $D$ deux catégories, $F$ un foncteur de $C$ dans $D$ et $G$ de $D$ dans $C$ tels que pour tout objet $X \in C$ et $Y \in D$ on ait une bijection naturelle en X et Y $Hom _ D \left( F \left (X \right), Y\right) \approx Hom _ C \left( X , G \left (Y \right) \right)$. Alors $F$ et $G$ sont des foncteurs adjoints, $F$ est adjoint à gauche de $G$ et $G$ est adjoint à droite de $F$.

Article détaillé : Adjoint (foncteur).

Exemples

• Le foncteur identité d'une catégorie $\mathcal C$, souvent noté $I : \mathcal C \to \mathcal C$, qui laisse les objets et les morphismes de la catégorie invariants.
• Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
  • le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie qui contient aussi les groupes non abéliens (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien) ;
  • le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe l'ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe).
• Le foncteur de faisceaux, d'une catégorie dans la catégorie de ses faisceaux, qui associe à chaque objet $X$ le faisceau $U \mapsto Hom (U, X)$ et son dual (contravariant) qui lui associe $U \mapsto Hom (X, U)$. Dans ce cas $Hom (*, pt)$ est le faisceau terminal (ou constant ou point) et $Hom (*, \emptyset)$ l'initial (ou vide). Le foncteur de faisceau est une représentation d'une catégorie dans son topos et permet d'identifier chaque objet au faisceau qu'il représente.
• Une catégorie possédant un seul objet, et dont la classe des morphismes est un ensemble, n'est rien d'autre qu'un monoïde, et entre deux telles catégories, les foncteurs covariants sont simplement les morphismes de monoïdes.

Propriétés de foncteurs

Foncteurs fidèles, pleins, pleinement fidèles

On dit qu'un foncteur $F : \mathcal C \to \mathcal D$ est fidèle si pour tout couple d'objets $A, B$ dans $\mathcal C$, deux morphismes $f, g : A \to B$ sont égaux si et seulement si les morphismes $F(f), F(g) : F(A)\to F(B)$ sont égaux. On dit que F est plein si tout morphisme $F(A) \to F(B)$ est égal à un $F(f)$. Un foncteur pleinement fidèle est un foncteur à la fois fidèle et plein.

Par exemple, le foncteur d'oubli de Ab dans Grp est pleinement fidèle; le foncteur d'oubli de Grp dans Set est fidèle mais pas plein. Si $F$ est l'inclusion d'une sous-catégorie $\mathcal C$ dans une catégorie $\mathcal D$, alors il est fidèle, sans être toujours pleinement fidèle.

Équivalence de catégories

Un foncteur $F : \mathcal C \to \mathcal D$ est appelé une équivalence de catégories s'il existe un foncteur $G : \mathcal D \to \mathcal C$ tel qu'il existe un isomorphisme naturel de foncteurs entre $G\circ F$ (resp. $F\circ G$) et l'identité sur $\mathcal C$ (resp. $\mathcal D$). Une équivalence de catégories est une notion plus générale que celle des isomorphismes de catégories.

Remarques

• Le foncteur constant (tous les objets ont le même objet image et chaque flèche est envoyée sur l'identité) est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs.
• Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie $\mathcal Cat$ des petites catégories.