Foncteur

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En mathématiques, le foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de morphisme.

Définitions[modifier | modifier le code]

Un foncteur (ou foncteur covariant) F : CD d'une catégorie C dans une catégorie D est la donnée

  • d'une fonction qui, à tout objet X de C, associe un objet F(X) de D,
  • d'une fonction qui, à tout morphisme f : XY de C, associe un morphisme F(f) : F(X) → F(Y) de D,

qui

  • respectent les identités : pour tout objet X de C,F(\mathrm{Id}_A)=\mathrm {Id}_{F(A)},
  • respectent la composition : pour tous objets X, Y et Z et morphismes f : XY et g : YZ de C,F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).

Un foncteur contravariant G d'une catégorie C dans une catégorie D est un foncteur covariant de la catégorie opposée Cop dans D. À tout morphisme f : XY de C, il associe donc un morphisme G(f) : G(Y) → G(X) de D, et l'on a la « relation de compatibilité » G(gf) = G(f) ∘ G(g).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le foncteur identité d'une catégorie C, souvent noté 1C ou idC : CC, qui envoie chaque objet ou morphisme de C sur lui-même.
  • Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
    • le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie qui contient aussi les groupes non abéliens (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien) ;
    • le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe son ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe).
  • Pour tout objet X d'une catégorie C localement petite, les deux foncteurs Hom : CSet : Y ↦ Hom (X, Y) (covariant) et Y ↦ Hom (Y, X) (contravariant).
  • Entre deux monoïdes (qui sont des catégories à un seul objet), les foncteurs covariants sont simplement les morphismes de monoïdes.

Propriétés de foncteurs[modifier | modifier le code]

Foncteurs fidèles, pleins, pleinement fidèles[modifier | modifier le code]

On dit qu'un foncteur F : CD est :

  • fidèle (en) si deux morphismes f, g : XY dans C sont égaux dès que leurs images F(f), F(g) : F(X) → F(Y) dans D le sont ;
  • plein (en) si tout morphisme F(X) → F(Y) est égal à un F(f) ;
  • pleinement fidèle s'il est à la fois fidèle et plein.
Exemples
  • Un morphisme de monoïdes (cf. dernier exemple ci-dessus) est fidèle si et seulement s'il est injectif, et plein si et seulement s'il est surjectif.
  • Le foncteur d'oubli de Ab dans Grp est pleinement fidèle.
  • Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est fidèle (mais pas plein) ; plus généralement, si F est l'inclusion d'une sous-catégorie C dans une catégorie D, alors il est fidèle.

Foncteurs conservatifs[modifier | modifier le code]

Trivialement, tout foncteur F : CD préserve les isomorphismes, c'est-à-dire que si f est un isomorphisme dans C alors F(f) est un isomorphisme dans D.

Le foncteur F est dit conservatif si réciproquement, un morphisme f dans C est un isomorphisme dès que F(f) en est un dans D.

Exemples
  • Un morphisme F de monoïdes (cf. fin du § « Exemples » ci-dessus) est conservatif si et seulement si tout antécédent par F d'un élément inversible est inversible.
  • Tout foncteur pleinement fidèle est conservatif.
  • Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est conservatif.

Foncteurs adjoints[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Foncteur adjoint.

Soient C et D deux catégories, F un foncteur de C dans D et G de D dans C, tels que pour tout objet X \in C et Y \in D on ait une bijection, naturelle en X et Y,

{\rm Hom}_D \left( F \left (X \right), Y\right)\simeq{\rm Hom}_C \left( X , G \left (Y \right) \right).

Alors F est dit adjoint à gauche de G, et G adjoint à droite de F.

Équivalence de catégories[modifier | modifier le code]

Un foncteur F : CD est appelé une équivalence de catégories s'il existe un foncteur G : DC et un isomorphisme naturel de foncteurs entre GF (resp. FG) et l'identité sur C (resp. D). L'équivalence de catégories est une notion plus générale que celle d'isomorphisme de catégories.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • Le foncteur constant (tous les objets ont le même objet image et chaque flèche est envoyée sur l'identité) est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs.
  • Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie Cat des petites catégories.