Catégorie des espaces topologiques

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En mathématiques, la catégorie des espaces topologiques est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés générales observées dans l'étude des espaces topologiques. Ce n'est pas la seule catégorie qui possède les espaces topologiques comme objet, et ses propriétés générales sont trop faibles ; cela motive la recherche de « meilleures » catégories d'espaces[1]. C'est un exemple de catégorie topologique.

Définition[modifier | modifier le code]

La catégorie des espaces topologiques est la catégorie Top défini ainsi :

Adjonctions[modifier | modifier le code]

On dispose du foncteur d'oubli de Top dans la catégorie des ensembles consistant à ignorer la topologie :

U : \mathrm{Top} \to \mathrm{Set}

Ce foncteur forme un triplet d'adjonction

D \dashv U \dashv I

D munit l'ensemble considéré de la topologie discrète, et I le munit de la topologie grossière. Ces deux foncteurs forment des plongements pleins de Set dans Top.

Propriétés de la catégorie des espaces topologiques[modifier | modifier le code]

Propriétés catégoriques[modifier | modifier le code]

Objets[modifier | modifier le code]

Morphismes[modifier | modifier le code]

  • Les monomorphismes de Top sont les applications continues injectives ;
  • Les monomorphismes extrémaux sont réguliers et correspondent aux plongements ;
  • Les épimorphismes de Top sont les applications continues surjectives ;
  • Les épimorphismes extrémaux sont réguliers et correspondent aux applications quotient ;
  • Les isomorphismes de Top sont les homéomorphismes ;
  • Top n'admet pas de morphisme zéro.

Limites[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]