Schéma (géométrie algébrique)

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En géométrie algébrique, un schéma est un espace localement annelé (X, O_X) localement isomorphe à un schéma affine. Le faisceau O_X est appelé le faisceau structural.

Un schéma affine est le spectre d'un anneau commutatif, muni de son faisceau structural. En d'autres termes un schéma est à un fibré ce qu'un anneau est à un groupe, le faisceau structural jouant le rôle du groupe structural des fibres.

Intuition[modifier | modifier le code]

Un schéma est avant tout un objet géométrique.

Telle qu'elle a été inventée, cette notion généralise la notion de variété algébrique. À une variété algébrique sur un corps, la théorie des schémas ajoute des points qui ne sont pas nécessairement fermés (grosso modo, ce sont des points dont les coordonnées sont des variables).

En théorie des nombres, pour étudier les propriétés arithmétiques d'une variété algébrique V sur \mathbb{Q}, il est utile de connaître son comportement "modulo p" pour tout nombre premier p. Pour ce faire, on essaie d'étendre V d'une manière raisonnable en un schéma sur l'anneau des entiers relatifs \mathbb{Z}. Ce schéma peut être vu comme une famille de variétés algébriques {V, Vp} où Vp est une variété algébrique sur le corps fini premier \mathbb F_p.

Histoire[modifier | modifier le code]

La notion de schéma est due à Alexandre Grothendieck, qui l'a inventée dans le but de démontrer les conjectures de Weil (qui sont maintenant un théorème, démontré par Pierre Deligne) vers l'année 1958. La théorie des schémas est développée de la façon la plus belle et la plus complète dans le grand traité de fondements, inachevé (mais très complet !), les Éléments de géométrie algébrique, plus connu des mathématiciens sous le nom des EGA.

Quelques définitions de base[modifier | modifier le code]

Propriétés de schémas[modifier | modifier le code]

Si X est un schéma, un sous-schéma ouvert de X est un ouvert U de X muni du faisceau O_X|_U. C'est un espace localement annelé, et en fait un schéma. Tout ouvert de X est toujours muni de cette structure de sous-schéma ouvert.

Un schéma affine {\rm Spec} A est dit noethérien si A est un anneau noethérien.

Un schéma noethérien est un schéma qui est réunion finie d'ouverts affines noethériens.

Un schéma localement noethérien est un schéma dont tout point possède un voisinage ouvert affine noethérien.

Un schéma réduit est un schéma tel que l'anneau O_X(U) soit réduit (i.e. sans élément nilpotent non-nul) pour tout ouvert U.

On dit que X est irréductible (resp. connexe) si l'espace topologique sous-jacent vérifie cette propriété.

On dit que X est intègre s'il est irréductible et réduit. Cela revient à dire que l'anneau O_X(U) est intègre pour tout ouvert U.

Un schéma régulier est un schéma localement noethérien X tel que ses anneaux locaux O_{X,x} sont réguliers en tout point x.

Propriétés de morphismes[modifier | modifier le code]

Un morphisme de schémas f : X\to Y entre deux schémas est simplement un morphisme en tant qu'espaces localement annelés.

Un morphisme de schémas f: X\to {\rm Spec }A induit via le morphisme de faisceaux O_{{\rm Spec} A} \to f_*O_X un homomorphisme d'anneaux A\to O_X(X).

Proposition — L'application canonique {\rm Mor}(X, {\rm Spec} A) \to {\rm Hom}_{\rm anneaux}(A, O_X(X)) est bijective et fonctorielle en A et en X.

  • En particulier, se donner une structure de A-schéma sur X équivaut à se donner une structure de A-algèbre sur O_X(X).
  • La catégorie des schémas affines est équivalente à la catégorie des anneaux commutatifs unitaires.

Un morphisme affine est un morphisme f tel que pour tout ouvert affine V de Y, l'image réciproque f^{-1}(V) soit affine. On montre qu'il suffit pour cela que Y soit recouvert par des ouverts affines V_i dont les images réciproques dans X soient affines.

Un morphisme fini est un morphisme affine f comme ci-dessus tel que de plus \mathcal O_{X}(f^{-1}(V)) soit fini sur \mathcal O_Y(V) en tant que module. Il suffit que cette propriété soit vérifiée pour un recouvrement affine particulier de Y.

Schémas au-dessus d'un schéma fixé[modifier | modifier le code]

On fixe un schéma S. Un S-schéma est un schémas X muni d'un morphisme de schémas \pi : X\to S, lequel morphisme est appelé le morphisme structural du S-schéma, et S est appelé schéma de base. Dans les notations, on omet souvent le morphisme structural. Lorsque S est un schéma affine d'anneau A, on parle aussi de A-schéma au lieu de S-schéma.

Tout schéma est, de façon unique, un {\mathbb Z}-schéma. Cela vient du fait qu'il existe un unique homomorphisme d'anneaux de {\mathbb Z} dans un anneau donné.

Si X, Y sont des S-schémas, un morphisme de S-schémas de X dans Y est un morphisme de schémas f: X\to Y qui est compatible avec les morphismes structuraux: \pi_Y f= \pi_X.

Les S-schémas et les morphismes de S-schémas forment une catégorie, appelée la catégorie des S-schémas, souvent notée {\rm Sch}_S.

Références[modifier | modifier le code]