Catégorie groupoïde

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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la structure de magma en algèbre, parfois aussi dénommée « groupoïde ».

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories et en topologie algébrique, la notion de groupoïde généralise à la fois les notions de groupe, de relation d'équivalence sur un ensemble, et de l'action d'un groupe sur un ensemble. Elle a été initialement développée par Heinrich Brandt (en) en 1927[1].

Les groupoïdes sont souvent utilisés pour représenter certaines informations sur des objets topologiques ou géométriques comme les variétés.

Définitions[modifier | modifier le code]

Définition au sens des catégories[modifier | modifier le code]

Un groupoïde est une catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme.

Définition algébrique[modifier | modifier le code]

Un groupoïde G est un ensemble muni de deux opérations : une loi de composition partiellement définie * et une application (partout définie) .^{-1}, qui satisfont les trois conditions suivantes sur les éléments f, g et h de G :

  • Chaque fois que f*g et g*h sont définis simultanément, alors (f*g)*h et f*(g*h) sont aussi définis, et sont égaux, on les note fgh ou f*g*h. Réciproquement, si (f*g)*h ou f*(g*h) sont définis, il en est de même de f*g et g*h ;
  • f^{-1}*f et f*f^{-1} sont toujours définis (mais éventuellement différents) ;
  • Chaque fois que f*g est défini, alors f*g*g^{-1} = f, et f^{-1}*f*g = g. (Ces expressions sont bien définies d'après les axiomes précédents).

On montre alors que :

  • Si x*f=u*f alors x=u. Il suffit en effet de composer à droite par f^{-1} ;
  • Si f*y=f*v alors y=v. Il suffit en effet de composer à gauche par f^{-1} ;
  • (f^{-1})^{-1}=f. En effet, (f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*(f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*f*f^{-1}*(f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*f=f ;
  • Si f*g est défini, il en est de même de g^{-1}*f^{-1}, et g^{-1}*f^{-1}=(f*g)^{-1}. En effet, f=f*g*g^{-1} donc f*f^{-1}=f*g*g^{-1}*f^{-1} ce qui suffit à assurer l'existence de g^{-1}*f^{-1}. Par ailleurs, f^{-1}*f*g*(f*g)^{-1}=f^{-1}=f^{-1}*f*f^{-1}=f^{-1}*f*g*g^{-1}*f^{-1} et il suffit de simplifier à gauche f^{-1}, f et g.

Lien entre les deux notions[modifier | modifier le code]

À un groupoïde au sens des catégories, on peut associer le groupoïde au sens algébrique des (iso)morphismes de cette catégorie.

Réciproquement, si G est un groupoïde au sens algébrique, on peut lui associer un groupoïde au sens des catégories de la façon suivante. Les objets de la catégorie associée sont les x=f^{-1}*f lorsque f varie (on remarque que ces éléments vérifient : x^{-1}=x=x^n). L'ensemble des morphismes x→y, noté G(f^{-1}*f,g^{-1}*g)=G(x,y), est l'ensemble des h tels que y*h*x est défini (cet ensemble pouvant être vide).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Les groupes sont des groupoïdes (avec un seul objet x et pour ensemble de flèches (morphismes) G(x,x)=G).
  • Le groupoïde de Poincaré est un groupoïde.
  • Toute réunion disjointe \bigsqcup_{i\in I} G_i de groupes est un groupoïde, dont l'ensemble des objets est l'ensemble I des indices.
  • À partir d'une action de groupe on peut définir un groupoïde en posant G(x,y)= l'ensemble des éléments du groupe qui envoient x sur y.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les (petits) groupoïdes forment eux-mêmes une catégorie, les morphismes étant les foncteurs entre groupoïdes.

Soit G un groupoïde, on définit la relation d'équivalence x\equiv{}\,y si G(x,y) est non vide, elle définit un groupoïde quotient noté \pi_0(G). \pi_0 définit un foncteur (composantes connexes) de la catégorie des groupoïdes vers la catégorie des ensembles.

Soient G un groupoïde et x un objet de G (on dit aussi un point de G). La loi de composition entre les flèches de G(x,x) restreinte à ce sous-groupoïde est une loi de groupe. On note \pi_1(G,x) ce groupe.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) H. Brandt, « Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes », Mathematische Annalen, vol. 96,‎ 1927, p. 360-366 (lire en ligne)