Catégorie de foncteurs

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Une catégorie de foncteurs ou catégorie des foncteurs entre deux catégories est une catégorie dont les objets sont les foncteurs entre ces catégories, et les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient C et D des catégories. On définit la catégorie de foncteurs de C dans D, notée D^C -- ou parfois [C ,D] ou \mathrm{Fun}(C, D) :

  • Les objets de D^C sont les foncteurs de C dans D ;
  • Les morphismes sont les transformations naturelles.

Il existe, pour tout objet F, un morphisme correspondant à l'identité incarné par le foncteur 1_F: F \mapsto F. La composition de transformations naturelles est construite ainsi : si \eta: F\to G et \varepsilon: G \to H sont deux transformations naturelles, la composition verticale est définie élément par élément :

\varepsilon\eta : F \to H
\left(\varepsilon \eta\right)(X) = \varepsilon(X) \eta(X).

Cette composition est associative et possède une identité, ce qui donne bien une structure de catégorie.

Dans de nombreux cas, on exige que C soit une catégorie localement petite, pour des raisons fondationelles, c'est-à-dire que ses morphismes forment un ensemble et pas une classe.

Si C est petite et D est localement petite (respectivement petite), alors la catégorie de foncteurs est localement petite (respectivement petite).

Plongement de Yoneda[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Lemme de Yoneda.

Par le plongement de Yoneda, toute catégorie s'associe à une catégorie de foncteurs. En effet, pour tout objet X de C, si on note \operatorname{Hom}(-, X) le foncteur représentable contravariant de C dans la catégorie \mathsf{Set} des ensembles, on a que

X \mapsto \operatorname{Hom}(-,X)

est un plongement plein de C dans la catégorie \left[C^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}\right]. Si la catégorie C est petite, cette catégorie forme en particulier un topos.

Propriétés[modifier | modifier le code]

De fait, plusieurs catégories peuvent en fait s'interpréter comme des catégories de foncteurs, comme notamment la catégorie des préfaisceaux sur un espace topologique, la catégorie des R-modules, ou la catégorie des graphes.

D'une manière générale, si C est une petite catégorie, beaucoup des propriétés de D se transportent à D^C. Notamment :

  • Si toutes les limites (respectivement colimites) existent dans D, elles existent dans D^C ;
  • Si D est une catégorie abélienne, c'est également le cas de D^C ;
  • Si F: D \to E et G:E \to D sont deux foncteurs adjoints, alors les foncteurs induits F^C : D^C \to E^C et G^C : E^C \to D^C sont également adjoints.

La catégorie de foncteurs est un objet exponentiel (en).

Catégories enrichies et catégories d'ordre supérieur[modifier | modifier le code]

Si on travaille avec des catégories M-enrichies, on peut transporter cette structure dans la construction de la catégorie de foncteurs et obtenir une catégorie de foncteurs M-enrichie, en faisant intervenir la fin M-enrichie sur le foncteur C^{\mathrm{op}} \otimes C \to M.

Dans le cadre général des catégories d'ordre supérieur (en), les hom-catégories des 2-catégories strictes (en) sont exactement les catégories de foncteurs.

Référence[modifier | modifier le code]