Produit (catégorie)

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Dans une catégorie, le produit peut s'exprimer par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable.

Définition[modifier | modifier le code]

produit

Soit C une catégorie et (X_i)_{i\in I} une famille d'objets de C. On cherche un couple (X, (\pi_{i})_{i \in I}), où X soit un objet de C et (\pi_{i})_{i \in I} une famille de morphismes \pi_i : X\to X_i, tel que pour tout objet Y de C et pour toute famille de morphismes f_i : Y\to X_i, il existe un unique morphisme f:Y\to X tel que pour tout indice i, on ait \pi_i\circ f =f_i.

Si un tel couple (X, (\pi_{i})_{i \in I}) existe, on dit que c'est un produit des (X_i)_{i\in I}[1]. On dit aussi, moins rigoureusement, que X est un produit des (X_i)_{i\in I}. Les morphismes \pi_i sont appelés les projections canoniques et les morphismes f_i les composantes de f.

Étant donné une catégorie C et une famille (X_i)_{i\in I} d'objets de C, les couples (Y, (\lambda_{i})_{i \in I}), où Y est un objet de C et  (\lambda_{i})_{i \in I} une famille de morphismes \lambda_i : Y\to X_i, sont les objets d'une catégorie C', les morphismes (selon C') de l'objet (Y, (\lambda_{i})_{i \in I}) vers l'objet (Y', (\lambda '_{i})_{i \in I}) étant les morphismes (selon C) f de Y dans Y' tels que, pour tout i, \lambda '_{i} \circ f = \lambda_{i} (le morphisme identité de (Y, (\lambda_{i})_{i \in I}) dans la catégorie C' étant le morphisme identité de Y dans la catégorie C). La définition du produit revient alors à dire qu'un produit de la famille (X_i)_{i\in I} d'objets de C est un objet final de la catégorie C'[1]. Comme deux objets finaux d'une catégorie sont isomorphes dans cette catégorie, deux produits (X, (\pi_{i})_{i \in I}) et (X', (\pi'_{i})_{i \in I}) d'une même famille d'objets de C sont toujours isomorphes dans C', donc, a fortiori, les «produits» X et X' sont isomorphes dans C. Réciproquement, si X et X' sont deux objets isomorphes de C, si X est un «produit» d'une famille d'objets de C, alors X' est lui aussi un «produit» de cette famille. Tout ceci montre que le produit est défini à isomorphisme près.

Dans la catégorie des ensembles, le produit existe et s'appelle produit cartésien. Dans toute autre catégorie, le produit des (X_i)_{i\in I}, lorsqu'il existe représente le foncteur qui à un objet Y de C associe le produit cartésien \prod_{i\in I} Hom(Y,X_i).

Produit et somme[modifier | modifier le code]

La somme est la propriété duale du produit : la somme correspond au produit de la catégorie duale.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Dans la catégorie des ensembles, le produit catégoriel d'une famille non vide d'ensembles est leur produit cartésien, muni des projections respectives.
  • Le produit indexé par l'ensemble vide est l'objet final.
  • Dans la catégorie des magmas, des monoïdes ou des groupes, le produit est le produit direct. Il se construit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Le produit commute donc avec le foncteur d'oubli.
  • Lorsque A est un anneau commutatif, dans la catégorie des A-modules, le produit est le produit direct. La catégorie des K-espaces vectoriels ainsi que la catégorie des groupes commutatifs en sont des cas particuliers.
  • Le produit d'une famille de corps (resp. corps commutatifs) n'existe pas forcément dans la catégorie des corps (resp. corps commutatifs). Par exemple, si K désigne un corps (commutatif) à 2 éléments et L un corps (commutatif) à 3 éléments, le produit de K et de L n'existe pas dans la catégorie des corps ni dans celle des corps commutatifs. En effet, les projections d'un tel produit M seraient respectivement des homomorphismes de M dans K et dans L. Or tout homomorphisme de corps est injectif, donc M serait isomorphe à la fois à un sous-corps d'un corps à 2 éléments et à un sous-corps d'un corps à 3 éléments, ce qui est impossible.
  • Dans la catégorie des espaces topologiques, le produit s'obtient en construisant la topologie produit (topologie de la convergence simple) sur le produit cartésien.
  • Le produit fibré est une version plus sophistiquée du produit.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. a et b Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], Dunod, 2004, p. 62

Article connexe[modifier | modifier le code]

Limite projective