Discussion:Limite projective

et les morphismes ?

A moins que je me trompe, est-ce que $\varprojlim$ est un foncteur défini sur la catégorie des systèmes projectifs $(U_{i},f_{ij}:U_{i}\to U_{j})$ ? Quelqu'un pourrait (au moins) expliciter l'action de $\varprojlim$ sur les morphismes ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 192.167.204.8 (discuter), le 20 octobre 2007.

Rép : voir ci-dessous, #À isomorphisme près.

Qu'est ce que c'est que cette définition ?

Euh, c'est pas la bonne définition ça. Normalement c'est plus général. Je crois que je vais sortir mon SGA pour régler le problème. Noky (d) 11 janvier 2008 à 17:36 (CET)

Limite projective dans la catégorie des corps

L'article dit (correctement) que la limite projective n'existe pas toujours dans la catégorie des corps. Il me semble cependant que si l'ensemble ordonné I est supposé filtrant à droite, tout système projectif de corps relatif à I admet une limite projective dans la catégorie des corps. En effet, un élément de la limite projective (au sens courant) du système projectif d'ensembles correspondant est une famille partout nulle ou partout non nulle. Cela tient au fait que tout homomorphisme de corps est injectif. (Si la i-ème composante d'un élément x de la limite projective ensembliste est nulle, prouvons que, pour tout j, sa j-ième composante est nulle. Puisque I est filtrant à droite, il existe k majorant {i, j}. L'homomorphisme (définissant le système projectif) allant du k-ième corps dans le i-ième étant injectif, la k-ième composante de x est nulle, donc la j-ième l'est aussi.) Dès lors, la structure d'anneau de la limite projective ensembliste est une structure de corps.

Comme certains auteurs ne définissent la limite projective que pour un ensemble filtrant à droite, il est exact, dans le cadre de ces auteurs, que la limite projective d'un système projectif de corps existe toujours dans la catégorie des corps. Je me demande donc s'il ne vaudrait pas mieux préciser dans l'article que la limite projective existe toujours dans la catégorie des corps si I est filtrant à droite mais qu'elle n'existe pas toujours si I n'est pas supposé filtrant à droite.

Pour ce dernier fait, voici un exemple. Prendre pour I un ensemble {a, b} à deux éléments, ordonné par la relation d'égalité. Prendre comme a-ième corps un corps à 2 éléments et comme b-ième corps un corps à 3 éléments. La famille de deux corps ainsi obtenue et la famille $(f_{ii})$, où i parcourt {a,b} et où $f_{ii}$ désigne l'endomorphisme identique du i-ème corps, constituent un système projectif de corps. Si une limite projective (au sens général des catégories, sans s'occuper de la limite projective au sens ensembliste) existait pour ce système, il y aurait un homomorphisme du corps limite dans un corps à deux éléments et un homomorphisme du corps limite dans un corps à trois éléments. Puisque les homomorphismes de corps sont injectifs, c'est clairement impossible.

Malheureusement, j'ai sucé ça de mon pouce, parce que je ne trouve rien sur cette question, ni dans ma documentation, ni sur Internet (en français, en tout cas). Marvoir (d) 3 octobre 2012 à 14:16 (CEST)

Y aurait-il quelque chose qui m'échappe ? Claudio Hüni, Kathrin Naef, Daniel Schmitter, « p-adic Analysis Compared with Real, Lecture 3 », en ligne, écrivent « For example the projective limit of fields is only a ring in general and not a field. » Et pourtant, ils ne considèrent que des systèmes projectifs relatifs à N, qui est un ensemble ordonné filtrant à droite... (Mais ils ne donnent pas d'exemple.) Marvoir (d) 3 octobre 2012 à 16:26 (CEST)

La question globale date d'ici et là. C'est évidemment déjà bien que tu aies mis ton contre-exemple dans Produit (catégorie) vers où cet article-ci lie, et ajouté ici une source pour dire que "certains auteurs" se restreignent aux limites filtrantes. J'avais la flemme de creuser plus, mais comme moi aussi apparemment quelque chose m'échappe, ça réveille mon appétit. Anne (d) 3 octobre 2012 à 18:57 (CEST)

Content de t'avoir mise en appétit ! J'espère que tu vas pêcher sur Internet la perle que je n'ai pas trouvée. Par parenthèse, il me semble qu'un raisonnement analogue au raisonnement ci-dessus montre que si I est supposé cette fois filtrant à gauche (et non plus à droite), il est encore vrai que tout élément de la limite projective ensembliste d'un système projectif de corps est une famille partout nulle ou partout non nulle et donc que la limite projective existe dans ce cas dans la catégorie des corps. Mais l'essentiel est le cas filtrant à droite, puisque certains auteurs ne définissent les limites projectives que dans ce cas. Marvoir (d) 3 octobre 2012 à 19:15 (CEST)

Je ne trouve rien d'intéressant sur les limites projectives filtrantes de corps, ni dans ma tête (qui est d'accord avec ton pouce), ni sur internet (probablement parce que c'est sans intérêt : c'est juste l'intersection, donc Hüni, Naef et Schmitter se trompent). Anne (d) 4 octobre 2012 à 08:48 (CEST)

Je pense aussi qu'ils se trompent. Ta formule "C'est juste l'intersection" me semble juste elle aussi. Ceci dit, laisse-t-on l'article tel quel, ou donne-t-on un exemple où il n'y a pas de limite projective (par exemple l'exemple ci-dessus) ? Marvoir (d) 4 octobre 2012 à 09:01 (CEST)

Tu as déjà mis ton exemple dans Produit (catégorie), et ici il y a : « Si l'ordre sur I est l'égalité, un système projectif indexé par I est simplement une famille d'objets de la catégorie, et sa limite projective n'est autre que son produit. » et « Dans la catégorie des [...] on peut construire la limite de n'importe quel système projectif. (Dans celle des corps, pas toujours : il n'y a pas de produits.) » Me semble que ça suffit. Anne (d) 4 octobre 2012 à 09:56 (CEST)

OK. Je n'avais pas remarqué la phrase « Si l'ordre sur I est l'égalité, un système projectif indexé par I est simplement une famille d'objets de la catégorie, et sa limite projective n'est autre que son produit. ».Marvoir (d) 4 octobre 2012 à 10:05 (CEST)

À isomorphisme près

Ce n'est pas pour faire le teigneux, mais il me semble que dans la phrase suivante :

"Un système projectif d'ensembles dans lequel toutes les applications de transition sont injectives est simplement (à isomorphisme près) une famille d'ensembles (indexée par un ensemble ordonné I) décroissante pour l'inclusion : par exemple une suite décroissante si I = ℕ. ",

l'expression "à isomorphisme près" devrait recevoir un sens précis. Je suppose qu'il s'agit d'un isomorphisme de systèmes projectifs, mais alors, il faudrait peut-être définir les morphismes et les isomorphismes de systèmes projectifs. De plus, si l'ensemble ordonné I est égal à ℕ, ou plus généralement si I a un plus petit élément, soit 0, il est facile (quand les applications de transition sont injectives) de définir un isomorphisme du système de départ sur un système décroissant pour l'inclusion (à chaque ensemble du système de départ, faire correspondre son image dans le 0-ième ensemble), mais à première vue, je ne vois pas comment procéder dans le cas général. S'il était possible d'être un peu secourable aux lecteurs peu familiers du sujet, comme moi... Marvoir (d) 4 octobre 2012 à 19:22 (CEST)

Ok, battons ce fer chaud. C'est en prévision de la 1^e question que j'avais rajouté qu'un système projectif est un foncteur : j'ai donc complété par un lien, à l'endroit que tu pointes, vers transformation naturelle. On pourrait expliciter (et sourcer facilement) la définition de ces morphismes de systèmes projectifs, mais à mon avis ça ne vaut le coup que (et encore : ?) si on dit, comme sur :en : "the inverse limit functor $\varprojlim :C^{I^{op}}\rightarrow C$ is a covariant functor" et pas seulement "les limites projectives de deux systèmes projectifs isomorphes sont isomorphes". Pour la 2^e je n'ai aucune source, je m'étais juste dit : posons Fi = Ei privé des images des Ej pour j>i, puis F = la réunion disjointe des Fi, etc. Anne (d) 4 octobre 2012 à 21:16 (CEST)

Merci d'avoir répondu. Il est un peu tard pour que je me fatigue encore sur des maths ce soir. Je regarderai ça demain. Marvoir (d) 4 octobre 2012 à 21:27 (CEST)

Sincèrement, je pense qu'il vaudrait le coup d'expliciter la notion de morphisme et d'isomorphisme de systèmes projectifs, même après avoir dit qu'un système projectif est un foncteur. A. et R. Douady, p. 41-42, après avoir défini un système projectif comme donnée d'une famille d'objets et d'une famille de morphismes (satisfaisant aux bonnes conditions), ajoutent qu'autrement dit, un système projectif est un foncteur (entre les bonnes catégories). Et pourtant, quand ils définissent les morphismes de systèmes projectifs (p. 43), ils les définissent "explicitement", c'est-à-dire comme famille de morphimes satisfaisant aux bonnes conditions, et ne mentionnent même pas le fait que ce sont des morphismes de foncteurs (ils ont pourtant défini les morphismes de foncteurs pp. 29-30). (Il est vrai qu'ils ne présentent pas leur description des morphismes de systèmes projectifs comme une définition. Cela pourrait être une conséquence qu'ils tirent de la définition des morphismes de foncteurs, mais ils ne font pas le lien. Et en tout cas, ils donnent la description explicite.) Je pense qu'il est très bon de noter que les systèmes projectifs sont des foncteurs et que les morphismes de systèmes projectifs sont les morphismes de foncteurs correspondants, mais il me semble que ça ne devrait venir qu'après les définitions plus explicites et plus classiques, comme une couche d'abstraction supplémentaire. Il ne faut pas en demander trop au lecteur dès le départ. Ceci dit, j'ai très peu approfondi l' "abstract nonsense", donc je ne compte pas intervenir dans l'article dans l'état actuel de mes connaissances. Marvoir (d) 5 octobre 2012 à 09:47 (CEST)

Merci beaucoup pour le très bon travail que tu viens de faire dans l'article ! Marvoir (d) 5 octobre 2012 à 21:35 (CEST)

J'avais rajouté au vol « non vide » pour pouvoir parler d'intersection, mais seulement une fois (au début), et sans source... Anne, 5/10/12

Mes auteurs (Bourbaki, Lang, Douady) n'imposent pas à l'ensemble ordonné d'être non vide, ni pour les systèmes projectifs, ni pour les systèmes inductifs. Il me semble que ne pas imposer cette restriction a l'avantage de permettre de raisonner sur des sous-systèmes, sans devoir prévoir un cas exceptionnel si le sous-ensemble ordonné est vide. En revanche, le fait que dans un système projectif qu'on pourrait appeler "inclusif" (c'est-à-dire où, pour i inférieur ou égal à j, E_j est contenu dans E_i et l'application de transition correspondante envoie un élément de E_j sur lui-même dans E_i) dont l'ensemble ordonné satisfait à des conditions du genre "filtrant", la limite projective soit "isomorphe" à l'intersection ne peut être énoncé que si I est non vide, tout d'abord parce que, comme tu le soulignes, l'intersection n'existe pas si I est vide, et aussi parce que, dans ce cas, le seul élément de la limite projective est la famille vide; cette famille vide a bien "toutes" ses valeurs égales, mais, contrairement à ce qui est le cas si I est non vide, il n'existe pas une valeur de la famille à laquelle toutes les valeurs sont égales; or c'est l'existence d'une valeur de la famille à laquelle toutes les valeurs sont égales (quand I n'est pas vide) qui permet de définir un "isomorphisme" de l'intersection sur la limite projective. Après avoir ainsi tiré un coup de canon pour tuer une mouche, je suggérerais de ne pas imposer la non-vacuité dans la définition, mais de la supposer à l'endroit où on parle de l'intersection. Marvoir (d) 6 octobre 2012 à 07:59 (CEST)

Contre-exemple pour "à isomorphisme près"

L'article dit ceci : "Un système projectif d'ensembles dans lequel toutes les applications de transition sont injectives est simplement (à isomorphisme près) une famille d'ensembles (indexée par un ensemble ordonné I) décroissante pour l'inclusion."

Cela semble vouloir dire qu'un système projectif d'ensembles indexé par un ensemble ordonné I et dans lequel toutes les applications de transition sont injectives est forcément isomorphe au système projectif formé par une famille d'ensembles indexée par I, décroissante pour l'inclusion, et par des applications de transition qui sont toutes des inclusions $x\mapsto x$.

Convenons d'appeler sysème projectif injectif un système projectif d'ensembles dans lequel toutes les applications de transition sont injectives, et d'appeler sysème projectif inclusif un système projectif d'ensembles dans lequel toutes les applications de transition sont des inclusions $x\mapsto x$. Avec ces définitions, l'assertion en cause signifie que tout système projectif injectif S est isomorphe à un système projectif inclusif.

Si I est filtrant à gauche, cela me semble vrai. En effet, S est un système inductif pour l'ensemble ordonné I' opposé de I et I' est filtrant à droite; or, si un ensemble ordonné est filtrant à droite, un système inductif relatif à cet ensemble ordonné admet une limite inductive et si les applications de transition sont injectives, les applications canoniques des ensembles du système dans la limite inductive sont injectives. Cela fournit une bijection de chacun des ensembles sur une partie de la limite inductive et ces bijections forment un isomorphisme de S sur un système projectif inclusif.

Si un ensemble ordonné J est quelconque (non forcément filtrant à droite) et si T est un système inductif indexé par J, on peut encore construire une limite inductive de ce système, qui possède la propriété universelle voulue (Bourbaki, Théorie des ensembles, 1970, ch. III, $ 7, exerc. 9, p. III.96). Dans le cas particulier où J est filtrant à droite, la construction est la même que la construction classique. Seulement, il me semble que si J n'est pas filtrant à droite, il n'est plus vrai que si les applications de transition sont injectives, les applications canoniques dans la limite inductive sont elles aussi injectives. En cherchant (et en trouvant, je pense) un contre-exemple pour ceci, je pense avoir trouvé un contre-exemple à l'assertion de l'article.

Prenons pour I un ensemble à quatre éléments {a, b, c, d} ordonné de la façon suivante : chacun des éléments a, b est inférieur à chacun des éléments c, d et à part ça, deux éléments distincts ne sont jamais comparables (cette dernière condition revient à dire que a et b ne sont pas comparables entre eux et que c et d ne sont pas comparables entre eux). On peut prendre par exemple I égal à {2, 3, 30, 42} muni de la relation "divise".

Prenons pour $\ E_{c}$ un ensemble à deux éléments x, x',
pour $\ E_{d}$ un ensemble à un élément y,
pour $\ E_{a}$ un ensemble à deux éléments z, z',
pour $\ f_{a,c}$ l'application de $\ E_{c}$ dans $\ E_{a}$ qui envoie x sur z et x' sur z',
pour $\ f_{a,d}$ l'application de $\ E_{d}$ dans $\ E_{a}$ qui envoie y sur z,
pour $\ E_{b}$ un ensemble à deux éléments t, t',
pour $\ f_{b,d}$ l'application de $\ E_{d}$ dans $\ E_{b}$ qui envoie y sur t,
pour $\ f_{b,c}$ l'application de $\ E_{c}$ dans $\ E_{b}$ qui envoie x sur t' et x' sur t.

Pour $i\leq j\leq k$ dans I, on a toujours i = j ou j = k, donc il est clair que nous avons défini un système projectif S. De plus, nous avons pris comme applications de transition des injections, donc le système projectif F est injectif.

Je suggère de visualiser ce système de la façon suivante : on écrit "$\ E_{c}$ = {x, x'}" au sommet supérieur gauche d'un rectangle; au sommet inférieur gauche du rectangle, on écrit "$\ E_{a}$ = {z, z'}", en plaçant z à la verticale de x et z' à la verticale de x' (pour la beauté future du dessin); au sommet supérieur droit du rectangle, on écrit "$\ E_{d}$ = {y}" et au sommet inférieur droit, on écrit "$\ E_{b}$ = {t', t}", en plaçant t à la verticale de y (toujours pour la beauté future du dessin). On trace ensuite une flèche de x vers t' et une flèche de x' vers t, une flèche de x vers z et une flèche de x' vers z', une flèche de y verst t et une flèche de y vers z. Les flèches représentent les graphes des applications de transition.

(Edit. Je laisse ce qui suit, et que je crois toujours correct, mais il vaut peut-être mieux dire ceci : la limte projective de S est vide. En effet, un élément de cette limite serait de la forme $\ x_{a},x_{b},x_{c},x_{d},$ avec $\ x_{d}=y.$ On aurait donc $\ x_{a}=f_{d,a}(y)=z$ et $\ x_{b}=f_{d,b}(y)=t.$ Puisqu'il faut $\ f_{c,a}(x_{c})=x_{a}=z,$ on doit avoir $\ x_{c}=x.$ D'autre part, puisqu'il faut $\ f_{c,b}(x_{c})=x_{b}=t,$, on doit avoir $\ x_{c}=x'.$ On a ainsi trouvé deux valeurs distinctes pour $\ x_{c},$ contradiction, donc la limite projective de S est vide. Supposons maintenant que S soit isomorphe à un système projectif "inclusif" $\ (F_{a},F_{b},F_{c},F_{d}).$ Alors $\ F_{c}$ est contenu dans $\ F_{b}$ et dans $\ F_{a}$; comme ces ensembles sont tous trois de cardinal 2, ils sont donc égaux; de plus, $\ F_{d}$ est contenu dans $\ F_{a}$; donc l'intersection des ensembles $\ F_{a},F_{b},F_{c},F_{d}$ est égale à $\ F_{a}$ et n'est donc pas vide. Donc la limite projective du second système n'est pas vide, donc les deux systèmes ne sont pas isomorphes. On revient maintenant à ce que j'avais mis d'abord.)

De façon informelle, on peut dire ceci : y "pointe" vers t (par $\ f_{b,d}$) et x' pointe lui aussi vers t (par $\ f_{b,c}$). Mais dans ce que j'appelle un système projectif inclusif, pointer vers entraîne être égal, donc dans un système projectif inclusif S' isomorphe à S, "le correspondant" de y serait égal au "correspondant" de x'. D'autre part, le même y pointe vers z (par $\ f_{a,d}$) et x pointe lui aussi vers z (par $\ f_{a,c}$), donc le correspondant de y dans S' serait égal au correspondant de x. Puisque x et x' sont distincts, leurs correspondants sont distincts, donc nos deux résultats sont contradictoires.

Voici une mise en forme de ce raisonnement. Supposons que S soit isomorphe à un système projectif inclusif. Dans cette hypothèse, il existe des ensembles $\ F_{a}$, $\ F_{b}$, $\ F_{c}$, $\ F_{d}$ et une famille $(u_{i})_{i\in I}$ de bijections $E_{i}\rightarrow F_{i}$ telles que, pour $i\leq j$ dans I, on ait toujours $E_{j}\subseteq E_{i}$ et

(9) $\mathrm {incl} _{i,j}\circ u_{j}=u_{i}\circ f_{i,j},$

où $\mathrm {incl} _{i,j}$ désigne l'inclusion $f\mapsto f$ de F_j dans F_i.

Nous avons

(10) $\ u_{d}(y)=u_{b}(t).$

En effet, le second membre égale $\ u_{b}(f_{b,d}(y))$, qui, d'après (9), égale le premier membre.
D'autre part,

(11) le second membre de (10) égale $\ u_{c}(x').$

En effet, ce second membre peut s'écrire $\ u_{b}(f_{b,c}(x'))$ et est donc égal à $\ u_{c}(x')$ d'après (9). De (10) et (11) résulte

(12) $\ u_{d}(y)=\ u_{c}(x').$

D'autre part, nous avons

(13) $\ u_{d}(y)=u_{a}(z).$

En effet, le second membre égale $\ u_{a}(f_{a,d}(y))$, qui, d'après (9), égale le premier membre.
D'autre part,

(14) le second membre de (13) égale $\ u_{c}(x).$

En effet, ce second membre peut s'écrire $\ u_{a}(f_{a,c}(x))$ et est donc égal à $\ u_{c}(x)$ d'après (9). De (13) et (14) résulte

(15) $\ u_{d}(y)=\ u_{c}(x).$

La comparaison de (12) et (15) donne

$\ u_{c}(x')=\ u_{c}(x),$

ce qui est absurde, puisque $\ u_{c}$ est une bijection.

Si mon raisonnement est correct, je suggère de ne parler, dans l'exemple de l'article, que d'un système projectif décroissant pour l'inclusion, où les applications de transition sont les inclusions, et de dire que, dans ce cas (mais attention : il y a encore une condition de "connectivité" sur l'ensemble ordonné des indices : deux éléments doivent toujours pouvoir être reliés par une chaîne d'éléments où chaque élément est comparable au suivant; si cette condition n'est pas satisfaite, la limite projective n'est pas forcément isomorphe à l'intersection : voir le cas où I est ordonné par l'égalité), l'intersection des ensembles, munie de ses inclusions dans les ensembles, est isomorphe à la limite projective munie de ses applications canoniques (isomorphe dans la catégorie ad hoc, qu'il faudrait peut-être expliciter dans l'article). Autrement dit, l'intersection des ensembles, munie de ses inclusions dans les ensembles, est une limte projective du système. Marvoir (d) 11 octobre 2012 à 13:14 (CEST)

Tu as raison ! rectifie ma bêtise, stp Anne (d) 11 octobre 2012 à 16:34 (CEST)

Ce n'est pas si bête que ça, j'ai mis du temps à trouver le contre-exemple et au départ, j'étais persuadé que l'assertion en question était vraie. Comme quoi, la réalité peut être contre-intuitive. Je vais modifier le passage de l'article, mais je crains d'être un peu lourd. Marvoir (d) 11 octobre 2012 à 16:46 (CEST)

Une vision catégorique

Toutes ces remarques soulignent l'importance des morphismes dans la définition de la limite (j'enfonce une porte ouverte). En allant plus loin — et peut-être plus clairement — je suivrais Chevalley dans son cours d'algèbre homologique à l'IHP (1965) : on remplace l'ensemble ordonné I par une petite catégorie I. Un système projectif (ou inductif, d'ailleurs) dans une catégorie C est ainsi simplement un foncteur A : I → C (et on peut noter A_i l'image de i). Ça règle déjà les conditions de commutation des f_ij. Tout objet L de C donne lieu à un tel système (trivial) : les objets de I vont tous sur L et toutes les flèches sur Id_L. En notant F(I,C) la catégorie des foncteurs de I dans C, on a défini ainsi un foncteur «Konstant» K:C→F(I,C).

Un cône projectif (resp. inductif) est un morphisme de foncteurs K(X) → A (resp. A → K(X)) où A est défini plus haut (et ça règle les conditions de commutation). Une limite projective (resp. inductive) du système A est un objet L de C tel que Hom_C(X,L) soit isomorphe à Hom_F(I,C)(K(X),A) (resp. Hom_C(L,X) soit isomorphe à Hom_F(I,C)(A,K(X)).

Si I est la catégorie associée à un ensemble ordonné, les définitions coïncident. L'intérêt vient d'accepter plusieurs flèches entre deux objets. Par exemple, le noyau (les américains disent l'égalisateur) d'une double flèche u,v : A → B en est la limite projective ; toute limite projective se décompose en un produit précédé d'un noyau, etc. Bref, je modifierais bien l'article dans ce sens. Avec cette définition, par exemple, la limite projective d'un système d'inclusions (!) quelconque en est bien l'intersection, même si ce n'est pas le système des voisinages d'un point (lequel est effectivement filtrant).

Et avec ces définitions, le contre-exemple de Marvoir peut se simplifier en prenant la limite projective, le noyau si vous voulez, des deux flèche de {0} dans {0,1}, l'une envoyant 0 sur 0, l'autre l'envoyant sur 1 ; lequel noyau est vide.

Maintenant, si on tient aux ensembles d'indices ordonnés, on peut dédoubler {0}, le premier avatar envoyant 0 sur 0 et le second 0 sur 1. Tout élément de la limite projective doit s'envoyer sur le premier 0, donc sur 0 dans {0,1} ; mais il doit s'envoyer aussi sur le second 0, donc sur 1 dans {0,1}. Un tel élément ne peut donc exister et la limite projective est vide. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par 2a01:e35:8bcc:17b0:21e:c2ff:fe0a:485f (discuter), le 14 juin 2013

1° Vous écrivez : "Un système projectif (ou inductif, d'ailleurs) dans une catégorie C est ainsi simplement un foncteur A : I → C (et on peut noter A_i l'image de i)." L'article le dit déjà, dans la section "Aspects fonctoriels". Trouvez-vous cette section insuffisante ? Pourquoi ?

2° Vous écrivez : "le contre-exemple de Marvoir peut se simplifier". J'ai amené deux contre-exemples : le premier pour montrer que la limite projective n'existe pas toujours dans la catégorie des corps et le second pour montrer qu'un système projectif "injectif" n'est pas forcément isomorphe à un système projectif "inclusif". Auquel de ces deux contre-exemples faites-vous allusion ? Et quel est exactement le contre-exemple plus simple que vous proposez : quel est l'ensemble ordonné, quelle est la famille d'objets et quels sont les morphismes de transition ? Marvoir (d) 15 juin 2013 à 09:08 (CEST)

Je partage l'opinion du dernier intervenant (Anne ?) : je suivrais aussi Chevalley dans son cours de 1965 (je l'ai suivi à l'époque !). Il permet en effet d'accepter plusieurs flèches entre deux objets (ce que le paragraphe sur les aspects fonctoriels ne dit pas), donc de voir les noyaux comme cas particuliers, et accessoirement de ne pas faire cette inversion d'ordre entre A_i → A_j et A_j → A_i pour i<j. Bref, je donnerais bien une définition toute catégorique, quitte - à fins pédagogiques - à mettre des exemples avant la définition, et après. Dans la foulée, on pourrait y mettre les faisceaux.

  Cela répond peut-être à la question (1). Pour la question (2), le contre-exemple donné n'en est pas un. Ici l'ensemble ordonné est, mettons, {2,3,6} ordonné par divisibilité. Les objets sont les ensembles A₂ = A₃ = {0}, A₆ = {0,1}. Les morphismes sont f_6,2(0) = 0 et f_6,3(0) = 1. Comme le constate l'intervenant, la limite projective est vide ; il n'empêche que le système est bien isomorphe à un système inclusif où A₃ = {1}, dont la limite projective est tout aussi vide. Ici, le contre-exemple de Marvoir est rigidifié par {x,x'} de façon à empêcher le renommage qui pourrait mener à une inclusion.

  Dans le paragraphe Limite projective de structures algébriques, on pourrait mentionner que dans les variétés d'algèbres, toutes les limites (projectives et inductives) existent. C'est le cas, par exemple, des magmas, monoïdes, groupes etc. avec un renvoi sur le chapitre Algèbre universelle. [Jean-Claude Raoult, le 5 février 2015]

Si vous pensez pouvoir faire un exposé clair, précis et bien référencé, allez-y, mais je dois avouer que pour moi, qui ne suis pas un grand praticien des catégories, ce que vous dites (par exemple « rigidifié »...) est incompréhensible. Marvoir (discuter) 6 février 2015 à 08:55 (CET)

L'article ne devrait-il pas être déjargonisé ?

Je (crois) pratique(r) les limites projectives, comme une partie des chercheurs en informatique fondamentale et plus précisément en programmation fonctionnelle. Si je comprends bien, mais l'article ne me permet pas de bien comprendre, il s'agit du concept que nous appelons coinduction, qui, comme il est dit dans l'article, dont je donne le lien, de calculer sur des structures de données infinies, comme les nombres réels en précision arbitraire. Mais je dois le dire, l'article limite projective, ne donne aucune intuition et ne permet pas au béotien de se faire une idée de ce dont il s'agit. Mieux que cela, j'aurais aimé que les économistes aient aussi une idée de concept, car j’affirme que c'est dont ils ont besoin pour comprendre le monde de l'économie et fabriquer des modèles adéquats. Mais ce n'est pas cet article qui leur servira d'introduction. Peut-être suffirait-il d'une introduction qui explique sans formalisme et avec des exemples ce qu'est une limite projective. Pierre Lescanne (discuter) 16 janvier 2023 à 13:14 (CET)

Je ne suis pas sûr... Les exemples mathématiques que je connais dépassent largement les connaissances du taupin moyen (le plus "classique", et celui qu'on donne toujours en exemple, est la construction de $\mathbb {Z} _{p}$ comme limite projective des $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$) ; je ne suis pas certain que la coinduction (que je découvre) corresponde clairement à cela (une recherche Google donne un tout autre sens au mot coinduction en théorie des catégories, ou alors c'est moi qui suis trop ignorant ou trop bête pour voir le rapport). Dfeldmann (discuter) 16 janvier 2023 à 13:25 (CET)

Je connais l'exemple $\mathbb {Z} _{p}$, mais il me semble que ce n'est qu'un exemple parmi d'autres, de ce que Rutten appelle universal coalgebra (J.J.M.M. Rutten, « Universal coalgebra: a theory of systems », CWI). Si je me trompe, éclaire-moi un peu et peut-être nous pourrions rendre l'article un peu moi abscons, du moins dans son introduction.--Pierre Lescanne (discuter) 16 janvier 2023 à 14:33 (CET)

Difficile à dire, on n'est pas dans le même langage. J'ai été formé chez Bourbaki, ce que je ne recommande à personne  ; autrement dit à une approche pré-théorie des catégories. Mais la notion vient de Steenrod (pour des espaces topologiques) et algébriquement, une version intuitive peut être de donner un sens à la limite de la suite 5, 25, 625, ... qu'on notera x = ...625 dans un univers formel ( $\mathbb {Z} _{10}$) où x^2=x, et qu'on peut voir comme un "élargissement" (une limite) des entiers à n chiffres (décimaux) quand n tend vers l'infini. Après, si tu as de meilleurs idées, je te laisse faire ; il me semble en effet que mettre les exemples en premier serait mieux.Dfeldmann (discuter) 17 janvier 2023 à 16:03 (CET)