Catégorie monoïdale tressée

En mathématiques, une catégorie monoïdale tressée est une catégorie monoïdale particulière, à laquelle on ajoute un analogue de la notion de commutativité.

Définition formelle

Soit $({\mathcal {C}},\otimes ,\alpha ,\lambda ,\rho )$ une catégorie monoïdale. On note $\otimes ^{op}$ le produit tensoriel opposé à $\otimes$, c'est-à-dire le bifoncteur défini par $A\otimes ^{op}B=B\otimes A$. On appelle tressage sur ${\mathcal {C}}$ un isomorphisme naturel $\beta$ de $-\otimes -$ vers $-\otimes ^{op}-$. Autrement dit, pour tous objets $A,B$ de ${\mathcal {C}}$, $\beta$ induit un isomorphisme

$\beta _{A,B}:A\otimes B\longrightarrow B\otimes A$

Représentation des groupes de tresses

Une catégorie monoïdale tressée est dite symétrique si, de plus, $\beta _{B,A}^{-1}=\beta _{A,B}$.

Si $V$ est un objet de ${\mathcal {C}}$, quitte à fixer un parenthésage (puisque le produit tensoriel n'est associatif qu'à isomorphisme près), cela a un sens de considérer l'objet $V^{\otimes n}=V_{1}\otimes V_{2}\otimes \dots \otimes V_{n}$. Puisque les $V_{i}$ sont tous égaux à $V$, on a en particulier

$V_{1}\otimes \dots V_{i}\otimes V_{i+1}\otimes \dots \otimes V_{n}=V_{1}\otimes \dots V_{i+1}\otimes V_{i}\otimes \dots \otimes V_{n}$

où il s'agit cette fois ci d'une véritable égalité et non d'un isomorphisme. Par ailleurs, $\beta$ induit un isomorphisme

$\beta _{i}:V_{1}\otimes \dots V_{i}\otimes V_{i+1}\otimes \dots \otimes V_{n}\rightarrow V_{1}\otimes \dots V_{i+1}\otimes V_{i}\otimes \dots \otimes V_{n}$

Ainsi, les applications $\beta _{i}$ pour $i=1\dots n-1$ peuvent être considérées comme des éléments du groupe des automorphismes de $V^{\otimes n}$. On en déduit qu'il existe un morphisme de groupes

$B_{n}\longrightarrow \mathrm {Aut} (V^{\otimes n})$

qui envoie $\sigma _{i}$ sur $\beta _{i}$.

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