Symétrisation

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En mathématiques, la symétrisation d'un monoïde est une opération de construction d'un groupe dans lequel se projette le monoïde initial, de manière naturelle. On parle parfois de groupe de Grothendieck du monoïde considéré. Ce procédé est notamment appliqué pour construire l'ensemble des entiers relatifs à partir de celui des entiers naturels.

Si le monoïde de départ est muni d'une seconde loi de composition qui en fait un semi-anneau commutatif, son symétrisé est un anneau commutatif.

Définition[modifier | modifier le code]

Définition par adjonction[modifier | modifier le code]

Tout groupe abélien est en particulier un monoïde commutatif, de sorte qu'il existe un foncteur d'oubli F : \mathrm{AGrp} \to \mathrm{CMon} de la catégorie des groupes abéliens dans la catégorie des monoïdes commutatifs. Ce foncteur admet un adjoint à gauche G, qui vérifie alors la propriété universelle suivante : pour tout groupe abélien K, de monoïde sous-jacent F(K), tout morphisme de monoïdes A \to F(K) correspond à un morphisme de groupes G(A) \to K. Cela garantit notamment l'unicité à isomorphisme près.

Si A est un monoïde commutatif, le groupe G(A) est alors appelé symétrisé de A.

Construction explicite[modifier | modifier le code]

Une manière de rendre explicite la définition ci-dessus est de considérer le monoïde produit A \times A, c'est-à-dire le produit cartésien muni des opérations coordonnée par coordonnée, modulo la relation d'équivalence

(a,b) \sim (a',b') \Leftrightarrow \exists k, a + b' + k = a'+b+k.

On peut alors comprendre un élément (a, b) du monoïde produit comme correspondant à l'élément « a - b » du groupe. Ainsi, la classe d'équivalence de (a, a) est l'identité, et l'inverse de (a, b) est (b, a).

Si le monoïde est abélien et muni d'une seconde loi qui en fait un semi-anneau commutatif, la multiplication sur le symétrisé est définie par la formule suivante :

(a,b) \cdot (c,d) = (ac+bd, ad+bc)

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le symétrisé du monoïde additif des entiers naturels est le groupe des entiers relatifs : voir construction des entiers relatifs.
  • Le symétrisé du monoïde multiplicatif des entiers naturels non nuls est le groupe multiplicatif des rationnels.
  • Le symétrisé d'un ensemble totalement ordonné (non vide), muni de la loi induite par le maximum, est réduit à un point. C'est également le cas pour les lois d'intersection ou d'union sur les parties d'un ensemble.
  • Pour tout groupe abélien A, G(A) \simeq A
  • Soit R un anneau et A le monoïde commutatif constitué des classes d'isomorphismes des Rmodules projectifs finiment engendrés, muni de l'opération M + N = M \oplus N. Alors le symétrisé de K est un anneau commutatif, et son groupe d'unités est l'ensemble des classes d'isomorphisme des modules projectifs de rang 1, c'est-à-dire le groupe de Picard de R.
  • Si on considère le monoïde formé des classes d'isomorphismes de fibrés vectoriels sur un espace topologique X, l'addition étant induite par la somme directe, on obtient un groupe qui coïncide avec le K-groupe topologique.

Références[modifier | modifier le code]