Foncteur représentable

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On rencontre en mathématiques de nombreuses propriétés universelles. Le formalisme des catégories permet d'exprimer ces propriétés de façon très simple.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit C une catégorie et F un foncteur contravariant, respectivement covariant, de C dans Ens (catégorie des ensembles). On dit que F est représentable si et seulement s'il existe un objet X de C tel que F soit isomorphe au foncteur \hat{X}=Hom(., X) : Y \mapsto Hom(Y,X), respectivement au foncteur Hom(X,.) : Y\mapsto Hom(X,Y).

Lemme de Yoneda[modifier | modifier le code]

Les morphismes de \hat{X} dans F correspondent bijectivement aux éléments de F(X).

Ainsi, on dit que le foncteur F est représenté par (X,\zeta)
(où \zeta est un élément de F(X)) lorsque \hat{\zeta} : Hom(Z,X)\mapsto F(Z) est un isomorphisme de foncteur.

Foncteurs covariants représentables[modifier | modifier le code]

  • Somme

Soit C une catégorie, A et B deux objets de C. On considère le foncteur de C dans Ens qui à X associe Hom(A,X)\times Hom(B,X). Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle de la somme.

Soit I un ensemble et A un anneau commutatif. Le foncteur de la catégorie des A-module dans Ens (respectivement catégorie des groupes, des groupes commutatifs, des monoîdes, des A-algèbre) qui à un A-module F (respectivement toutes la ribambelle) associe F^I est représentable. On obtient le A-module libre A^{(I)}, respectivement, le groupe libre de base I, le groupe commutatif A^{(I)}, le monoïde libre des mots basé sur l'alphabet I, l'algèbre des polynômes dont I est l'ensemble des indéterminéees.

  • Complété

Soit E un espace métrique. Le foncteur de la catégorie des espaces métriques complets dans Ens qui à un espace métrique complet X associe Hom(E,X) est représenté par le complété de E.

Soit E un espace topologique. Le foncteur de la catégorie des espaces topologiques compacts dans Ens qui à un espace compact X associe Hom(E,X) est représenté par le compactifié de Stone-Čech de E.

Soit A un anneau commutatif unitaire et E et F deux A-modules. Le produit tensoriel de E et F représente le foncteur qui à un A-module G associe l'ensemble des applications bilinéaires de E\times F dans G.

Foncteurs contravariants représentables[modifier | modifier le code]

Soit C une catégorie, A et B deux objets de C. On considère le foncteur de C dans Ens qui à X associe Hom(X,A)\times Hom(X,B). Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle du produit.

Soit X un espace topologique et Y une partie de X. La topologie induite par X sur Y muni de l'injection canonique représente le foncteur de Top dans Ens qui à A associe l'ensemble des apllications continues de A dans X dont l'image est incluse dans Y.

Soit X un espace topologique localement compact et Y un espace topologique. Le foncteur T\mapsto Hom_{Top}(T\times X,Y) est représenté par l'espace des fonctions continues de X dans Y muni de la topologie compacte-ouverte.

Référence[modifier | modifier le code]

Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]