Catégorie enrichie

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Une catégorie enrichie sur une catégorie monoïdale M, ou M-catégorie est une extension du concept mathématique de catégorie, où les morphismes, au lieu de former une classe ou un ensemble dépourvu de structure, sont des éléments de M.

Motivation[modifier | modifier le code]

Le concept de catégorie enrichie part de l'observation que dans de nombreuses situations, les morphismes ont une structure naturelle d'espace vectoriel ou topologique. La catégorie M doit être monoïdale afin de pouvoir définir la composition des morphismes, appelés dans ce cas hom-objets au lieu de hom-sets.

Définition[modifier | modifier le code]

Une catégorie C enrichie sur M, où M est une catégorie monoïdale, est la donnée des éléments suivants :

  • Un ensemble d'objets \mathrm{Obj}(C) ;
  • Pour toute paire d'objets x, y, un objet de M appelé hom-objet et noté \mathrm{hom}(x, y) ;
  • Pour tout triplet d'objets de C, un morphisme dans M, dit de composition : \mathrm{hom}(b,c)\otimes\mathrm{hom}(a,b)\to \mathrm{hom}(a,c)
  • Pour tout objet a de C, un morphisme \mathsf{id_a} : 1 \to \mathrm{hom}(a, a) dit d'identité, où 1 est l'unité du produit tensoriel dans M
  • Les diagrammes commutatifs correspondant à la commutativité de la composition, et au bon comportement des morphismes identité dans cette composition.

Exemples[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]