Diagramme commutatif

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En mathématiques, et plus spécialement dans les applications de la théorie des catégories, un diagramme commutatif est un diagramme (en) d'objets et de morphismes tels que, lorsque l'on choisit deux objets, on peut suivre un chemin quelconque à travers le diagramme et obtenir le même résultat par composition des morphismes.


Par exemple, le premier théorème d'isomorphisme est un triangle commutatif comme suit :

FirstIsomDiag.png

Puisque f = h ∘ φ, le diagramme de gauche est commutatif ; et puisque φ = k ∘ f, il en est de même pour le diagramme de droite.

Sur le diagramme de gauche, il est possible d'aller de G à im f par deux chemins différents : soit directement grâce à l'application f, soit par composition des applications h et φ. De même, le diagramme de droite est commutatif, puisqu'on peut aller de G à G/ ker f soit directement par l'application φ, soit par la composition de k par f en passant par l'objet intermédiaire im f.

FourCommDiag.png

De la même manière, le carré ci-dessus est commutatif si yw = zx.

Vérification de la commutativité[modifier | modifier le code]

Un exemple de diagramme commutatif

La commutativité est aisément compréhensible pour un polygone avec un nombre fini de côtés (y compris seulement 1 ou 2), et un diagramme est commutatif si tout sous-diagramme polygonal est commutatif.

Voir aussi[modifier | modifier le code]


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Commutative diagram » (voir la liste des auteurs)