Catégorie des groupes abéliens

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En mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens.

Définition[modifier | modifier le code]

Catégorie des groupes abéliens[modifier | modifier le code]

La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi :

C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes.

La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur \mathbb Z :

\mathrm{Ab} \simeq \mathbb{Z}\text{-}\mathrm{Mod}.

Catégories enrichies sur Ab[modifier | modifier le code]

La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie. Les catégories enrichies sur Ab sont dites préadditives (en).

Adjonctions[modifier | modifier le code]

On a un foncteur d'oubli naturel U sur Ab qui consiste à « oublier » la structure de groupe U : \mathrm{Ab} \to \mathrm{Set}. Ce foncteur admet un adjoint à gauche représenté par le foncteur libre  F : \mathrm{Set} \to \mathrm{Ab} qui associe à un ensemble le groupe abélien librement engendré par cet ensemble. La catégorie Ab est donc concrète (en).

Propriétés de la catégorie des groupes abéliens[modifier | modifier le code]

Propriétés catégoriques[modifier | modifier le code]

Objets[modifier | modifier le code]

Morphismes[modifier | modifier le code]

Limites[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. C'est le critère de Baer sur les modules injectifs.

Références[modifier | modifier le code]