Transformation naturelle

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En théorie des catégories, une transformation naturelle permet de transformer un foncteur en un autre tout en respectant la structure interne (i.e. la composition des morphismes) des catégories considérées. On peut ainsi la voir comme un morphisme de foncteur.

Définition

Soient C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D. Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de C, d'un morphisme de D :

$\eta_X : F(X) \rightarrow G(X)$,

telle que pour tous objets X et Y de C et tout morphisme $f$ de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif  :

On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.

Si pour tout objet X de C, $\eta_X$ est un isomorphisme, on dit que $\eta$ est une équivalence naturelle ou un isomorphisme naturel.

Bibliographie

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician (en) [détail des éditions]

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Natural transformation » (voir la liste des auteurs)