Lemme de Yoneda

Dans l'étude des catégories, le lemme de Yoneda est une propriété de représentation des morphismes de foncteurs. Il permet de regarder les objets d'une catégorie comme des foncteurs sur cette catégorie, les foncteurs représentables ; il donne lieu à un plongement d'une catégorie dans une catégorie de foncteurs. Une des conséquences du lemme de Yoneda est le théorème des modèles acycliques, qui a de nombreuses utilisations en homologie et en géométrie algébrique.

Lemme de Yoneda

Un objet A d'une catégorie localement petite C définit un foncteur covariant $h_A$ de C dans la catégorie Ens des ensembles par :

$X\rightarrow h_A(X)=Hom_C(A,X)\,$ $f\rightarrow h_A(f)= g \mapsto f \circ g \,$

De la sorte, on dispose d'un foncteur contravariant h de C dans la catégorie Fonc(C,Ens) des foncteurs covariants de C dans Ens. Tout morphisme de A dans B dans la catégorie C induit un morphisme (i.e. une transformation naturelle) de $h_B$ dans $h_A$. Le lemme de Yoneda affirme que ce sont les seuls morphismes dont on dispose ; mieux, il caractérise l'ensemble des morphismes de $h_A$ dans n'importe quel foncteur de C dans Ens. Le foncteur h est le plongement de Yoneda.

Énoncé

Pour tout objet A d'une catégorie C, tout morphisme $\psi$ de $h_A$ sur un foncteur $T:$C$\rightarrow$Ens est uniquement déterminé par l'élément de $T(A)$ défini comme l'image de $id_A\in h_A(A)$ par $\psi(A)$. Plus précisément, on dispose d'une bijection :

$Hom(h_A,T)\rightarrow T(A\,)$ $\psi\rightarrow \psi(A)(id_A)\,$

En particulier, pour tous objets A et B de C, on a :

$Hom(h_A,h_B)=Hom(B,A)\,$

Preuve

Injectivité

Avec les notations ci-dessus, considérons $\psi$ un morphisme de $h_A$ sur $T$. Pour tout élément $f$ dans $h_A(B)=Hom_C(A,B)$, on a :

$f=h_A(f)(id_A)\,$

En appliquant à cette identité l'application ensembliste $\psi(B):h_A(B)\rightarrow T(B)$, on obtient :

$\psi(B)(f)=\psi(B)\left[h_A(f)(id_A)\right]=T(f)\left[\psi(A)(id_A)\right]$

où la seconde égalité vient de la définition d'un morphisme de foncteurs. L'élément $\psi(B)(f)$ est donc l'image de $\psi(A)(id_A)$ par $T(f)$. De fait, en faisant varier f, on montre que $\psi$ est uniquement déterminé par $\psi(A)(id_A)$. L'application énoncée est injective.

Surjectivité

Soit un élément v de $T(A)$. La preuve de l'injectivité permet d'intuiter un (forcément unique) antécédent de v. Pour tout objet B de C, définissons :

$\psi_v(B):h_A(B)\rightarrow T(B)\,$ $f\mapsto T(f)(v)$

Vérifions que $\psi_v$ est bien un morphisme de foncteurs. Pour toute flèche $g:B\rightarrow C$ et pour tout élément f de $h_A(B)$, on est en mesure d'écrire :

$T(g)\left[\psi_v(B)(f)\right]=T(g)\left[T(f)(v)\right]=T\left[g.f\right](v)=\psi_v(C)(g.f)$

Or, la composée g.f peut être regardée comme l'image de f par $h_A(g)$. Donc, l'identité obtenue se réécrit :

$T(g)\left[\psi_v(B)(f)\right]=\psi_v(C)\left[h_A(g)(f)\right]$

En faisant varier f :

$T(g)\circ \psi_v(B)=\psi_v(C)\circ h_A(g)$

Cela étant vérifié pour toute flèche g, $\psi_v$ est bien un foncteur de $h_A$ sur $T$ et son image est presque par définition v (on l'a défini pour).

Théorème des modèles acycliques

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