Lemme du serpent

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Le lemme du serpent, en mathématiques, et en particulier en homologie, est un énoncé valide dans toute catégorie abélienne ; c'est un outil des plus importants pour la construction de suites exactes, objets omniprésents en homologie et ses applications, par exemple en topologie algébrique. Les morphismes ainsi construits sont généralement appelés « morphismes connectants ».

Énoncé[modifier | modifier le code]

Dans une catégorie abélienne (par exemple la catégorie des groupes abéliens ou celle des espaces vectoriels sur un corps), considérons le diagramme commutatif suivant :

SnakeLemma01.png

où les lignes sont des suites exactes et 0 est l'objet nul de la catégorie concernée. Alors il existe une suite exacte liant les noyaux et les conoyaux de a, b, et c :

\ker a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker c \; \overset{d}{\longrightarrow} \operatorname{coker}a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}c.

De plus, si le morphisme f est un monomorphisme, alors le morphisme ker a → ker b l'est aussi, et si g' est un épimorphisme, alors coker b → coker c l'est aussi.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Snake lemma » (voir la liste des auteurs).