Réunion disjointe

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En mathématiques, la réunion disjointe est une opération ensembliste, variante de la réunion usuelle.

Motivation[modifier | modifier le code]

Lorsque l'on réunit deux ensembles, les éléments de l'intersection de ces deux ensembles ne sont comptés qu'une seule fois. Dans certaines situations, on ne souhaite pas tenir compte de l'intersection. On désire alors que les éléments de l'intersection soient pris en compte deux fois. On parle alors de réunion disjointe, c'est-à-dire que l'on réunit les deux ensembles comme s'ils étaient disjoints, même s'ils ne le sont pas. Une propriété immédiate de cette façon de voir, c'est que la réunion devient vraiment additive, le cardinal de la réunion disjointe est toujours égal à la somme des cardinaux.

La réunion disjointe d'une famille d'ensembles correspond à leur somme en théorie des catégories.

On utilise beaucoup la réunion disjointe en topologie. Alliée avec l'espace quotient, la réunion disjointe permet de construire de nombreux espaces, notamment les variétés topologiques et les complexes cellulaires ou simpliciaux.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour toute famille d'ensembles (Ei)iI la réunion disjointe ∐iI Ei des Ei se définit comme la réunion (ordinaire) des {iEi (qui sont disjoints par construction), i parcourant I. Formellement :

\bigsqcup_{i\in I} E_i = \{(i,x)\mid i\in I, \ x\in E_i\}.

Il s'agit bien d'un ensemble car, vue sa définition, ∐iI Ei peut se décrire en compréhension comme une partie de I×E, le produit cartésien de I par la réunion (ordinaire) E des Ei.

Réunion disjointe d'espaces topologiques[modifier | modifier le code]

Dans la définition ci-dessus, si chaque Ei est un espace topologique, on dispose d'une topologie naturelle sur ∐iI Ei, dont les ouverts sont les réunions disjointes ∐iI Ui où chaque Ui est un ouvert de Ei.

Cette structure, appelée somme topologique (en), joue le rôle de somme dans la catégorie des espaces topologiques.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

  • Multiensemble ; où l'union de deux ensembles ayant des éléments en commun n’amène pas à les disjoindre, au sens ci-dessus défini, mais à permettre plusieurs occurrences du même élément dans un ensemble ; cela n'est possible que par modification de l'axiome d'extensionnalité.