Noyau (théorie des catégories)

La théorie des catégories est une théorie unificatrice des Mathématiques. La notion de noyau est une notion centrale en algèbre. Ici, le concept de noyau est un concept général applicable à de nombreuses branches des mathématiques abstraites.

Définition[modifier | modifier le code]

Considérons dans une catégorie ${\mathcal {C}}$ deux flèches $u$ et $v$ de même source $A$ et de même but $B$ . Une flèche $k:K\rightarrow A$ de but $A$ est dite noyau ou égalisateur^[1] du couple $(u,v)$ si elle vérifie les deux propriétés suivantes :

(1) On a uk=vk

(2) Pour toute flèche $x:X\rightarrow A$ telle que l'on ait $ux=vx$ , il existe une flèche unique $x':X\rightarrow K$ telle que $x=kx'$ ^[2]^,^[3]^,^[4].

remarque : un noyau n'existe pas nécessairement. Si la catégorie ${\mathcal {C}}$ est telle que tout couple de flèches $(u,v)$ ayant même source et même but admette un noyau, on dit que la catégorie ${\mathcal {C}}$ admet des noyaux^[5].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout noyau est un monomorphisme.
L'objet K n'existe qu'à un isomorphisme près ; on fait parfois l'abus de langage consistant à dire : "le" noyau de (u,v) et l'on écrira $k=Ker(u,v)$ . Si la flèche k est évidente à partir de $K$ , on dira encore que $K$ est le noyau du couple $(u,v)$ et on écrira même $K=Ker(u,v)$ ^[5].

Exemples[modifier | modifier le code]

Plaçons-nous dans Ens. Soit u et v deux applications d'un ensemble A dans un ensemble B. Le sous-ensemble K de A formé par les éléments x de A tels que ux=vx, est tel que l'injection de K dans A est un noyau du couple (u,v) (on remarquera que K peut être vide.)
Plaçons-nous dans Grp. Le noyau du couple (u,v) est le sous-groupe H de A ayant pour ensemble sous-jacent le noyau (dans Ens) du couple d'applications (|u|,|v|). En particulier, si v est l'homomorphisme de A dans B qui fait correspondre à tout élément de A l'élément unité de B, le noyau du couple (u,v) est le noyau de l'homomorphisme u au sens habituel de la théorie des groupes.

Références[modifier | modifier le code]

↑ Serge Vasilach, Ensembles, structures, catégories, faisceaux : initiation aux structures fondamentales des mathématiques modernes, Presses de l'Université Laval, 1977 (ISBN 0-7746-6469-X, 978-0-7746-6469-1 et 2-225-46849-4, OCLC 4404837), p. 126
↑ Les anglosaxons parlent d' "equalizer of u and v"
↑ Saunders Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer-Verlag, [©1971] (ISBN 0-387-90035-7, 978-0-387-90035-3 et 0-387-90036-5, OCLC 267783), p. 70
↑ Emily Riehl, « Category Theory in Context », sur Cambridge University Press, p78
↑ ^{a et b} Georges Poitou, Paul Jaffard, Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Paris, Ediscience, 1971, p. 34

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[1] Serge Vasilach, Ensembles, structures, catégories, faisceaux : initiation aux structures fondamentales des mathématiques modernes, Presses de l'Université Laval, 1977 (ISBN 0-7746-6469-X, 978-0-7746-6469-1 et 2-225-46849-4, OCLC 4404837), p. 126

[2] Les anglosaxons parlent d' "equalizer of u and v"

[3] Saunders Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer-Verlag, [©1971] (ISBN 0-387-90035-7, 978-0-387-90035-3 et 0-387-90036-5, OCLC 267783), p. 70

[4] Emily Riehl, « Category Theory in Context », sur Cambridge University Press, p78

[:0-5] {a et b} Georges Poitou, Paul Jaffard, Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Paris, Ediscience, 1971, p. 34

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