Préfaisceau (théorie des catégories)

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La notion de préfaisceau en théorie des catégories généralise la construction du même nom en géométrie algébrique. Les préfaisceaux au sens des catégories sont des objets particulièrement courants et donnent lieu à la notion de topos sur un site.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient C et D des catégories, un préfaisceau de C à valeurs dans D est un foncteur :

F : C^{\mathrm{op}} \to D

de la catégorie opposée à C dans D. De manière strictement équivalente, c'est un foncteur contravariant de C dans D.

Un cas très courant est celui où D est la catégorie Set des ensembles, qui englobe en particulier toutes les catégories concrètes (en) : anneaux commutatifs, groupes abéliens, modules sur un anneau… qui est le cadre dans lequel les préfaisceaux de la géométrie algébrique sont considérés.

Lorsque D est une catégorie abélienne, on parle de préfaisceau abéliens.

Si V est une catégorie monoïdale, on peut définir une notion de préfaisceau V-enrichi, comme foncteur V-enrichi contravariant d'une catégorie enrichie dans une autre.

Un petit préfaisceau est un préfaisceau qui est l'extension de Kan d'un foncteur dont le domaine est une petite catégorie. Si C est une petite catégorie, alors tous les préfaisceaux sur C sont petits.

Catégorie des préfaisceaux[modifier | modifier le code]

La catégorie des préfaisceaux est la catégorie de foncteurs [C^{\mathrm{op}}, D], parfois notée \widehat{C}_D ou \mathrm{PSh}_D(C), c'est-à-dire la catégorie dont :

Lorsque D = Set, on note généralement \widehat{C} ou \mathrm{PSh}(C) la catégorie des faisceaux sur C, dans mention explicite de D.

La catégorie des préfaisceaux d'une petite catégorie dans Set est complète et cocomplète, et admet des limites et colimites point-à-point.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Toute catégorie C est plongée de manière pleine et fidèle dans la catégorie Ĉ des préfaisceaux à valeurs dans Set, par le plongement de Yoneda Y_C : C \mapsto \operatorname{Hom}_C(-, A). Les préfaisceaux de cette forme, et les préfaisceaux qui sont isomorphes à de tels préfaisceaux, sont dits « représentables ».
  • Tout préfaisceau à valeurs dans Set est la colimite d'un préfaisceau représentable. On peut écrire cela en termes de cofin :
F(-) = \int^{c:C} F(c) \times \operatorname{Hom}_C(-, c).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]