Groupe profini

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En théorie des groupes, un groupe profini est un groupe topologique obtenu comme limite projective de groupes finis. La notion de groupe profini est particulièrement utile en théorie de Galois, pour pouvoir travailler avec des extensions infinies.

Comme plus généralement en théorie des catégories, cette limite projective est uniquement définie à unique isomorphisme près. Elle peut être interprétée comme objet final d'une bonne catégorie.

Exemples[modifier | modifier le code]

L'exemple le plus simple de groupe profini provient certainement de la famille des \Z/p^n\Z, où p est un nombre premier fixé, n variant parmi les entiers naturels. Il est bien connu qu'il existe des morphismes surjectifs \phi_{m,n}\Z/p^m\Z\to\Z/p^n\Z pour m plus grand que n ; avec de bonne propriétés de composition entre eux. Un élément du groupe profini associé à ce système projectif est alors la donnée d'une famille (\alpha_n)_n où chaque \alpha_n est dans \Z/p^n\Z, et tel que deux coordonnées vérifient toujours : \phi_{m,n}(\alpha_m)=\alpha_n. On note \Z_p ce groupe profini, qui peut par ailleurs être obtenu comme un anneau d'entiers dans la théorie des corps de nombres p-adiques. Ce groupe est en fait le pro-p-complété du groupe des entiers relatifs.

En particulier, les entiers relatifs peuvent être vus comme des éléments de ce groupe profini : tout entier peut s'écrire comme une somme finie \alpha=\sum_i a_ip^i, avec ai inférieur à p. On pose alors \alpha_n=\sum_{i\leq n} a_ip^i.

On peut de même construire le complété profini \hat{\Z} du groupe des entiers relatifs en considérant le système projectif formé à partir de tous les \Z/n\Z.

Topologie[modifier | modifier le code]

Par le théorème de Tychonov, on constate qu'un groupe profini est compact pour la topologie initiale, chacun des groupes finis du système projectif étant muni de la topologie discrète.

On a en fait la caractérisation suivante : un groupe compact est profini si et seulement s'il est totalement discontinu.

Théorie de Sylow[modifier | modifier le code]

Les groupes profinis ont une structure suffisamment proche de celle des groupes finis pour que la théorie de Sylow s'y énonce de manière analogue au cas classique ; la démonstration se faisant par un simple passage à la limite.

Théorie de Galois[modifier | modifier le code]

Le groupe de Galois d'une extension infinie peut facilement être vu comme un groupe profini : en effet, ses quotients finis (qui correspondent via la correspondance de Galois aux sous-extensions finies), forment un système projectif, dont la limite est le groupe considéré.

Le cas du pro-p-complété \Z_p de \Z apparaît notamment en théorie d'Iwasawa.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Pro-p-groupe (en)