Hyperbole (mathématiques)

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En mathématiques, une hyperbole est une figure géométrique de la famille des coniques caractérisée par une excentricité supérieure à 1.

On obtient une hyperbole en prenant l'intersection d'un cône de révolution et d'un plan, le plan interceptant les deux branches du cône. Une hyperbole est constituée de deux branches disjointes. Bien que l'illustration ci-contre montre un plan vertical, tout angle plus faible que celui des génératrices du cône est acceptable.

Définition monofocale de l'hyperbole

Soient (D) une droite et F un point n'appartenant pas à (D), et soit P le plan contenant la droite (D) et le point F. On appelle hyperbole de droite directrice (D) et de foyer F l'ensemble des points M du plan P vérifiant

$\qquad \frac{\mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{F})}{\mathrm{d}(\mathrm{M}, (\mathrm{D}))} = e \qquad e > 1$

où d(M, F) mesure la distance du point M au point F et d(M, (D)) mesure la distance du point M à la droite (D).

La constante e est appelée excentricité de l'hyperbole.

Définition bifocale de l'hyperbole

La tangente en $M$ est aussi une bissectrice.

L'hyperbole est le lieu géométrique des points dont la différence des distances aux deux foyers est constante.

Géométriquement, cela donne :

Soient F et F' deux points distincts du plan. On appelle hyperbole de foyers F et F' l'ensemble des points M du plan vérifiant la propriété suivante :

$\qquad \mid \mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{F}) - \mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{F}') \mid = 2a \qquad a \in\mathbb{R}$

L'axe focal est le nom de la droite portant les deux foyers : c'est l'un des deux axes de symétrie de l'hyperbole, le seul qui la coupe. Pour cette raison, on le nomme aussi axe transverse et ses points communs avec la courbe sont les sommets. Le réel $a$ de la définition ci-dessus apparaît comme la moitié de la distance entre les sommets.

En chaque point M de cette hyperbole, la bissectrice du secteur angulaire (FMF') se trouve être la tangente en M à la courbe.

Équations

Équations cartésienne et paramétrique

Représentation graphique de la fonction inverse

L'hyperbole dont l'expression mathématique est la plus simple est la représentation graphique de la fonction $f$ définie par $f(x)=1/x$, voir fonction inverse.

Cette hyperbole, ainsi que celles dont une équation cartésienne est de la forme $x^2-y^2=a^2$ sont dites équilatères parce que leurs deux asymptotes sont orthogonales. Leur excentricité vaut $\sqrt{ 2 }$.

Dans un repère dont les axes sont de symétrie pour l'hyperbole, l'axe transverse pour axe des abscisses, l'équation cartésienne se met sous la forme

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

donnant alors les représentations paramétriques

$t \mapsto \left(a \, \cosh(t), b \, \sinh(t)\right)$ et $t \mapsto \left(-a \, \cosh(t), b \, \sinh(t)\right)$

pour chacune des branches.

De manière générale, comme toute conique, une hyperbole a pour équation cartésienne

ƒ(x, y) = 0

où ƒ est la formule quadratique :

ƒ(x, y) = A₁x² + A₂xy + A₃y² + A₄x + A₅y + A₆

avec les contraintes suivantes :

• A₁ et A₃ sont non nuls et de signe opposés ;
• A₆ est non nul, faute de quoi il s'agit de deux droites sécantes.

Équation matricielle

Nous pouvons écrire l'équation cartésienne sous forme matricielle :

$^{\mathrm{t}}\mathbf{x}\mathbf{A}\mathbf{x} + ^{\mathrm{t}}\mathbf{b}\mathbf{x} + c = 0$

où

• $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ; ^tx est la transposée de x ;
• A est une matrice 2×2, $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathrm{A}_1 & \mathrm{A}_2/2 \\ \mathrm{A}_2/2 & \mathrm{A}_3 \end{pmatrix}$ ;
• $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} \mathrm{A}_4 \\ \mathrm{A}_5 \end{pmatrix}$ ; ^tb est la transposée de b ;
• c = A₆ ;

avec toujours les mêmes contraintes.

Matérialisation d'une hyperbole

Arc d'hyperbole dessinée par l'ombre créée par une lampe

Lorsqu'une lampe munie d'un abat-jour est placée non loin d'un mur vertical, la courbe qui délimite, sur le mur, la zone éclairée et la zone ombragée est un arc d'hyperbole. En effet, la lumière est diffusée selon un cône — les rayons lumineux partent du centre de l'ampoule et s'appuient sur le cercle de l'ouverture de la lampe — coupé par un plan parallèle à l'axe du cône — le mur.

Annexes

Articles connexes

• Fonction hyperbolique
• Coniques
  • Ellipse (mathématiques)
  • Parabole
• Conique dégénérée (en)

Liens externes

• http://www.mathcurve.com/courbes2d/hyperbole/hyperbole.shtml
• (en) Construire la géométrie analytique objets
• http://xavier.hubaut.info/coursmath/2de/belges.htm Coniques et théorème de Dandelin