Hélice (géométrie)

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Hélice circulaire avec un pas à droite (A) ou à gauche (B)
Hélice circulaire vue selon plusieurs angles

En géométrie, l'hélice est une courbe dont la tangente en chaque point fait un angle constant avec une direction donnée. On utilise parfois le mot hélice pour l'expression hélice circulaire (voir ci-dessous).

Hélice circulaire[modifier | modifier le code]

Une hélice circulaire est incluse dans un cylindre. L'axe de ce cylindre est appelé axe de l'hélice, le rayon de ce cylindre est appelé rayon de l'hélice.

Pour obtenir une hélice circulaire de manière simple, prendre une feuille rectangulaire, tracer une diagonale et enrouler la feuille pour former un cylindre ; le trait forme une hélice. C'est aussi la forme des ressorts à boudin, des solénoïdes et des filetages et taraudages.

Dans l'espace rapporté au repère orthonormal \ (O,\vec i,\vec j,\vec k), l'hélice circulaire dont l'axe est parallèle à \ (O,\vec k) et passe par le point de coordonnées (x_0;y_0;z_0), de rayon R, de pas p et de nombre de pas t est définie par l'équation paramétrique suivante définie pour tout t' compris entre 0 et t :

\left \{ \begin{matrix}
x(t) = x_0 + R \cdot \cos(2\pi \cdot t') \\
y(t) = y_0 + R \cdot \sin(2\pi \cdot t') \\
z(t) = z_0 + p \cdot t'
\end{matrix} \right .

La projection d'une hélice circulaire sur un plan orthogonal à sa direction est un cercle. Sur un plan parallèle à sa direction, elle se projette selon une sinusoïde.

La longueur d'une spire d'une hélice circulaire de rayon R et de pas p vaut :

l = 2\pi\cdot \sqrt{R^2+\left(\frac{p}{2\pi}\right)^2}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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