Deltoïde (courbe)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
La courbe en rouge est une deltoïde.

La deltoïde n'est autre qu'une hypocycloïde à trois rebroussements. Sa forme ressemble un peu à celle de la lettre grecque delta, d'où son nom. Cet exemple de roulette (en) fut étudié pour la première fois par Leonhard Euler en 1745.

Équations paramétriques[modifier | modifier le code]

En écrivant la position du point d'un cercle de rayon a roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon 3a, on obtient l'équation paramétrique suivante :

x=2a\cos(t)+a\cos(2t) \,
y=2a\sin(t)-a\sin(2t) \,
La deltoïde comme enveloppe d'un segment dont les extrémités sont astreintes à suivre la courbe

L'équation cartésienne est de la forme :

(x^2+y^2)^2+18(x^2+y^2) = 8x^3-24y^2x+27

ce qui montre que cette courbe est algébrique de degré 4. Elle possède trois points singuliers (les trois points de rebroussement), et elle est de genre zéro.

Propriétés géométriques[modifier | modifier le code]

  1. Une règle dont les deux extrémités sont astreintes à glisser sur la deltoïde vient tangenter la deltoïde en un troisième point : le point de tangence décrit deux fois la deltoïde lorsque les extrémités ne la décrivent qu'une fois.
  2. L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde (théorème dû à Jakob Steiner).
  3. La développante de la deltoïde a pour équation cartésienne
x^3-x^2-(3x+1)y^2=0, Elle présente un point double à l'origine, ce que l'on peut vérifier en opérant une rotation imaginaire y → iy, qui aboutit à l'équation :

x^3-x^2+(3x+1)y^2=0 courbe qui présente un point double à l'origine dans \mathbb{R}^2.

Référence[modifier | modifier le code]

Jacques Hadamard, On the three-cusped hypocycloid, Mathematical Gazette, vol. 29 (1945), p. 66-67

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :