Lemniscate de Bernoulli

Cet article est une ébauche concernant la géométrie. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

La lemniscate de Bernoulli.

La lemniscate de Bernoulli est une courbe plane unicursale. Elle porte le nom du mathématicien et physicien suisse Jacques Bernoulli.

Une lemniscate de Bernoulli, de foyers F et F’, est l'ensemble des points M vérifiant la relation :

$MF \times MF' = OF^2$.

Cette courbe fait partie de la famille des lemniscates, dont elle est l'exemple le plus connu et le plus riche en propriétés. Pour sa définition, elle est l'exemple le plus remarquable d'ovale de Cassini. Elle représente aussi la section d'un tore particulier par un plan tangent intérieurement.

Expressions dans différents systèmes de coordonnées

On pose OF = a.

En coordonnées polaires, la lemniscate de Bernoulli admet pour équation :

$\rho^2 = 2a^2\cos{2\theta}~$

En coordonnées cartésiennes, on peut la décrire par l'équation cartésienne en fonction de x et y :

$\left(x^2 + y^2\right)^2 = 2a^2 \times \left(x^2 - y^2\right)$

ou par une représentation paramétrique :

$\left\{\begin{array}{l}x=a\sqrt{2} \; \frac{t(1+t^2)}{1+t^4} \\ \\ y=a\sqrt{2} \; \frac{t-t^3}{1+t^4}\end{array}\right.$

$x$ décrit l'intervalle $[-a\sqrt2,a\sqrt2]$ (les bornes sont atteintes pour $y=0$). $y$ décrit l'intervalle $[-a/2,a/2]~$ (les bornes sont atteintes pour $x=\pm a\sqrt3/2$).

Le symbole de l'infini ?

La lemniscate de Bernoulli est souvent considérée comme une courbe qui se parcourt sans fin. Cette caractéristique de la lemniscate serait à l'origine du symbole de l'infini, ∞, mais une autre version vient contredire cette hypothèse, l'invention du symbole étant attribuée au mathématicien John Wallis, contemporain de Bernoulli.

Liens externes

• (fr) MathCurve.com : Lemniscate de Bernoulli.