Lemniscate de Bernoulli

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La lemniscate de Bernoulli.

La lemniscate de Bernoulli est une courbe plane unicursale. Elle porte le nom du mathématicien et physicien suisse Jacques Bernoulli.

Une lemniscate de Bernoulli, de foyers F et F’, est l'ensemble des points M vérifiant la relation :

MF \times MF' = OF^2.

Cette courbe fait partie de la famille des lemniscates, dont elle est l'exemple le plus connu et le plus riche en propriétés. Pour sa définition, elle est l'exemple le plus remarquable d'ovale de Cassini. Elle représente aussi la section d'un tore particulier par un plan tangent intérieurement.

Expressions dans différents systèmes de coordonnées[modifier | modifier le code]

On pose OF = a.

En coordonnées polaires, la lemniscate de Bernoulli admet pour équation :

\rho^2 = 2a^2\cos{2\theta}~

En coordonnées cartésiennes, on peut la décrire par l'équation cartésienne en fonction de x et y :

\left(x^2 + y^2\right)^2 = 2a^2 \times \left(x^2 - y^2\right)

ou par une représentation paramétrique :

\left\{\begin{array}{l}x=a\sqrt{2} \; \dfrac{t+t^3}{1+t^4} \\ \\ y=a\sqrt{2} \; \dfrac{t-t^3}{1+t^4}\end{array}\right.

x décrit l'intervalle [-a\sqrt2,a\sqrt2] (les bornes sont atteintes pour y=0). y décrit l'intervalle [-a/2,a/2]~ (les bornes sont atteintes pour x=\pm a\sqrt3/2).

Propriétés[modifier | modifier le code]

La longueur de la lemniscate de Bernoulli vaut

L=\frac{2a \pi}{M(1,\sqrt{2})} = 4 a \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}

M(a,b) désigne la moyenne arithmético-géométrique de a et b. On reconnait également l'écriture d'une intégrale elliptique de première espèce dans l'expression.

La surface délimitée par la lemniscate vaut a2.

La lemniscate de Bernoulli est un cas particulier d'ovale de Cassini, de lemniscate de Booth, de spirale sinusoïdale et de spirique de Persée.

La courbe podaire d'une hyperbole équilatère est une lemniscate de Bernoulli.

Le symbole de l'infini ?[modifier | modifier le code]

La lemniscate de Bernoulli est souvent considérée comme une courbe qui se parcourt sans fin. Cette caractéristique de la lemniscate serait à l'origine du symbole de l'infini, , mais une autre version vient contredire cette hypothèse, l'invention du symbole étant attribuée au mathématicien John Wallis, contemporain de Bernoulli[1].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. John Wallis, De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus (1655), section I, Prop.1, p.4

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